Question

拋物線y=ax²+2x+3（a＜0）交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，頂點為D．
（1）寫出拋物線的對稱軸及C、D兩點的坐標（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）連接BD并以BD為直徑作⊙M，當a=-1時，請判斷⊙M是否經過點C，并說明理由；
（3）在（2）題的條件下，點P是拋物線上任意一點，過P作直線垂直于對稱軸，垂足為Q．那么是否存在這樣的點P，使△PQD與以B、C、D為頂點的三角形相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線y=ax²+2x+3（a＜0）交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，頂點為D，根據二次函數(shù)的對稱軸方程與頂點坐標的求解方法即可求得對稱軸及D點的坐標，又由當x=0時，y=3，求得C點的坐標；
（2）首先求得點B，C，D的坐標，然后根據兩點間的距離公式，求得BC，CD，BD的平方的值，即可得CD²+BC²=DB²，由勾股定理的逆定理，可求得∠DCB=90°，又由直徑所對的圓周角是直角，可得⊙M是經過點C；
（3）首先求得CD，BC，的長，然后分別從①若點P在對稱軸的左側，且△PQD∽△DCB，②若點P在對稱軸的左側，且△PQD∽△BCD，③若點P在對稱軸的右側，且△PQD∽△DCB，④若點P在對稱軸的右側，且△PQD∽△BCD去分析，根據相似三角形的對應邊成比例，求得方程，解方程即可求得答案．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+2x+3（a＜0）交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，頂點為D．
∴對稱軸為：x=-

2

2a

=-

1

a

，
∵當x=0時，y=3，
∴C的坐標為：（0，3），
∵D點的縱坐標為：y=

12a-4

4a

=

3a-1

a

，
D點的坐標為：（-

1

a

，

3a-1

a

）；…（3分）

（2）⊙M經過點C，
理由：連接BC，
∵a=-1，
∴拋物線為：y=-x²+2x+3，
∴點D（1，4），點B（3，0），點C（0，3），
∴CD²=2，BD²=20，BC²=18，
∴CD²+BC²=DB²，
∴∠DCB=90°，
∵BD是直徑，
∴∠BCD是直徑所對的圓周角，
∴⊙M是經過點C；（3分）

（3）設P（x，-x²+2x+3）
∵CD²=2，BC²=18，
∴CD=

2

，BC=3

2

，
①如圖：若點P在對稱軸的左側，且△PQD∽△DCB，
則

PQ

CD

=

DQ

BC

，
即

1-x

2

=

4-(-x2+2x+3)

3 2

，
解得：x₁=-2，x₂=1（舍去）；
∴當x=-2時，y=-5；
∴P₁的坐標為（-2，-5）；
②若點P在對稱軸的左側，且△PQD∽△BCD，
則

PQ

BC

=

DQ

CD

，
即

1-x

3 2

=

4-(-x2+2x+3)

2

，
解得：x₃=

2

3

，x₄=1（舍去）；
∴當x=

2

3

時，y=

35

9

；
∴P₂的坐標為（

2

3

，

35

9

）；
③若點P在對稱軸的右側，且△PQD∽△DCB，
則

PQ

CD

=

DQ

BC

，
即

x-1

2

=

4-(-x2+2x+3)

3 2

，
解得：x₅=4，x₆=1（舍去）；
∴當x=4時，y=-5；
∴P₃的坐標為（4，-5）；
④若點P在對稱軸的右側，且△PQD∽△BCD，
則

PQ

BC

=

DQ

CD

，
即

x-1

3 2

=

4-(-x2+2x+3)

2

，
解得：x₇=

4

3

，x₈=1（舍去）；
∴當x=

4

3

時，y=

35

9

；
∴P₄的坐標為（

4

3

，

35

9

）；
綜上可得，點P的坐標為：P₁（-2，-5）或P₂（

2

3

，

35

9

）或P₃（4，-5）或P₄（

4

3

，

35

9

）．…（4分）

點評：此題考查了對稱軸方程，頂點坐標的求解方法，圓的性質，相似三角形的判定與性質等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是注意數(shù)形結合思想，方程思想與分類討論思想的應用．