Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=2，sinB=，過(guò)點(diǎn)C在∠BCD的內(nèi)部作射線交射線BA于點(diǎn)E，使得∠DCE=∠B．

（1）如圖1，當(dāng)ABCD為等腰梯形時(shí)，求AB的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)（如圖2），求AB的長(zhǎng)；

（3）當(dāng)△BCE為直角三角形時(shí)，求AB的長(zhǎng)．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）或.

【解析】

試題分析：（1）作AM∥DC交BC于點(diǎn)M，AH⊥BC于點(diǎn)H，AD=1，BC=2，sinB=，得到AM=AB，BH=HM=，結(jié)合三角函數(shù)的定義可以求得AB的長(zhǎng)．

（2））由AD∥BC得到∠DAC=∠ACB，又∵∠DCE=∠B，∴△ADC∽△CAB，得到AC2=AD•BC，求得AC的長(zhǎng)度，結(jié)合勾股定理，即可構(gòu)造出關(guān)于AB的方程，解方程即可求得相應(yīng)的AB的長(zhǎng)度．

（3）分兩種情況來(lái)討論：如圖3-1，當(dāng)BE⊥CE時(shí)，∵∠DCE=∠B，∠B+∠BCE=90°，∴∠DCE+∠BCE=90°，作AH⊥BC，則HC=AD=1，∴BH=BC-HC=2-1=1，由sinB即可求得cosB的值，繼而求得AB的長(zhǎng)度；如圖3-2，當(dāng)BC⊥CE時(shí)，延長(zhǎng)DA交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，由△FDC∽△CEB，可以得到AE的長(zhǎng)度，繼而求得AB的長(zhǎng)度．

試題解析：（1）如圖1，作AM∥DC交BC于點(diǎn)M，作AH⊥BC于點(diǎn)H，

∵AD∥BC，∴AMCD為平行四邊形，

∴AM=DC，MC=AD=1，

∴BM=BC-MC=2-1=1，

∵四邊形ABCD為等腰梯形，

∴AB=DC，∴AB=AM，∴BH=HM=

在直角三角形ABH中，

∵sinB=，

∴cosB=，∵，∴．

（2）如圖2，∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB，

又∵∠DCE=∠B，

∴△ADC∽△CAB，

∴，

∴AC2=AD•BC=2，

作AF⊥BC于點(diǎn)F，

設(shè)AB=x，∵sinB=，

∴AF=，BF=，

∴CF=2-，

在直角三角形AFC中，AF2+CF2=AC2，即：，

∴，

即當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)E重合時(shí)，AB=，或者AB=．

（3）∵△BCE為直角三角形，

∴BE⊥CE或BC⊥CE，

情況一，當(dāng)BE⊥CE時(shí)，如圖3-1，

∵∠DCE=∠B，∠B+∠BCE=90°，

∴∠DCE+∠BCE=90°，

作AH⊥BC，則HC=AD=1，

∴BH=BC-HC=2-1=1，

又由sinB=可得，cosB=，

解得：AB=．

情況二，當(dāng)BC⊥CE時(shí)，如圖3-2，

延長(zhǎng)DA交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，設(shè)AE=a，則AF=，EF=，

在直角三角形BCE中，

∵BC=2，sinB=，

∴BE=，EC=，

∵AD∥BC，BC⊥CE，

∴AD⊥EC，

又∵∠DCE=∠B，

∴△FDC∽△CEB，

∴，即DC·BC=FC·CE，

∴，

∴．

∴

∴當(dāng)△BCE為直角三角形時(shí)，AB=或AB=．

考點(diǎn)：相似形綜合題．