【題目】在菱形ABCD中,∠BAD=60°
(1)如圖1,點E為線段AB的中點,連接DE、CE,若AB=4,求線段EC的長;
(2)如圖2,M為線段AC上一點(不與A、C重合),以AM為邊向上構(gòu)造等邊三角形AMN,連接NC、DM,Q為線段NC的中點,連接DQ、MQ,判斷DM與DQ的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
【答案】(1);(2)見解析;
【解析】(1)連接DB,利用菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理即可求解;
(2)延長MQ到H,使QH=MQ,連接DH、HC ,利用全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理等即可求解.
(1)∵菱形ABCD,
∴AD=DC=AB,DC∥AB,
∴∠DEA=∠CDE,
連接DB,
∵∠BAD=60°,
∴△ADB是等邊三角形 ,
∵E為AB中點,
∴DE⊥AB,AE=,
∴∠DEA=90°,
∴∠CDE=90°,
在Rt△ADE中,AD=AB=4,AE==2,
∴DE= ,
在Rt△DCE中,DC=AB=4,
∴EC=;
(2)延長MQ到H,使QH=MQ,連接DH、HC ,
∵Q為NC中點,
∴NQ=CQ,
∵∠NQM=∠CQH,
∴△NQM≌△CQH(SAS),
∴NM=CH,∠MNQ=∠HCQ,
∴NM∥CH,
∴∠NMA=∠HCM,
∵有等邊△AMN,
∴NM=AM,∠NMA=60°,
∴AM=CH,∠HCM=60°,
∵有菱形ABCD,AC為對角線,∠BAD=60°,
∴∠DAM=,
同理,∠DCA=30°,
∴∠HCD=30°,
∴△DAM≌△DCH(SAS),
∴DM=DH,∠ADM=∠CDH,
∴DQ⊥MH,∠MDQ=∠HDQ,∠MDH=∠ADC,
∴∠DQM=90°,
∵有菱形ABCD,∠BAD=60°,
∴∠ADC=120°,
∴∠MDH=120°,
∴∠MDQ=60°,
∴∠DMQ=30°,
∴DM=2DQ.
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【題目】觀察下列等式:
第1個等式:
第2個等式:
第3等式:
第4個等式:
請解答下列問題:
(1)按以上規(guī)律寫出第5個等式:a5= = .
(2)用含n的式子表示第n個等式:an= = (n為正整數(shù)).
(3)求a1+a2+a3+a4+…+a2018的值.
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【題目】如圖,AB為半圓O的直徑,C為BA延長線上一點,CD切半圓O于點D。連結(jié)OD,作BE⊥CD于點E,交半圓O于點F。已知CE=12,BE=9
(1)求證:△COD∽△CBE;
(2)求半圓O的半徑 的長
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【題目】如圖,方格紙中每個小方格都是長為1個單位的正方形,若學(xué)校位置坐標(biāo)為A(1,2),解答以下問題:
(1)請在圖中建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,并寫出圖書館B位置的坐標(biāo);
(2)若體育館位置坐標(biāo)為C(-3,3),請在坐標(biāo)系中標(biāo)出體育館的位置,并順次連接學(xué)校、圖書館、體育館,得到△ABC,求△ABC的面積.
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【題目】麗水苛公司將“麗水山耕”農(nóng)副產(chǎn)品運(yùn)往杭州市場進(jìn)行銷售.記汽車行駛時間為t小時,平均速度為v千米/小時(汽車行駛速度不超過100千米/小時).根據(jù)經(jīng)驗,v,t的一組對應(yīng)值如下表:
v(千米/小時) | 75 | 80 | 85 | 90 | 95 |
t(小時) | 4.00 | 3.75 | 3.53 | 3.33 | 3.16 |
(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),求出平均速度v(千米/小時)關(guān)于行駛時間t(小時)的函數(shù)表達(dá)式;
(2)汽車上午7:30從麗水出發(fā),能否在上午10:00之前到達(dá)杭州市?請說明理由:
(3)若汽車到達(dá)杭州市場的行駛時間t滿足3.5≤t≤4,求平均速度v的取值范圍.
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【題目】如圖①,矩形紙片ABCD的邊長分別為a、b(a<b),點M、N分別為邊AD、BC上兩點(點A、C除外),連接MN.
(1)如圖②,分別沿ME、NF 將MN兩側(cè)紙片折疊,使點A、C分別落在MN上的A′、C′處,直接寫出ME與FN的位置關(guān)系;
(2)如圖③,當(dāng)MN⊥BC 時,仍按(1)中的方式折疊,請求出四邊形A′EBN與四邊形C′FDM 的周長(用含a的代數(shù)式表示),并判斷四邊形A′EBN與四邊形C′FDM周長之間的數(shù)量關(guān)系;
(3)如圖④,若對角線BD與MN交于點O,分別沿BM、DN將MN兩側(cè)紙片折疊,折疊后,點A、C恰好都落在點O處,并且得到的四邊形BNDM是菱形,請你探索a、b之間的數(shù)量關(guān)系.
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【題目】為了獎勵學(xué)習(xí)小組的同學(xué),黃老師花92元錢購買了鋼筆和筆記本兩種獎品.已知鋼筆和筆記本的單價各為18元和8元,則買了筆記本本.
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【題目】如圖,△ABC在直角坐標(biāo)系中,
(1)寫出△ABC各點的坐標(biāo).A( , )B( , )C( , ).
(2)若把△ABC向上平移1個單位,再向右平移3個單位得△A′B′C′,在圖中畫出△A′B′C′,并寫出A′、B′、C′的坐標(biāo).A′( , )B′( , )C′( , ).
(3)連結(jié)CA′,CB′,則△CA′B′的面積是 .
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【題目】觀察下列各等式:
13=1=×11×22
13+23=9=×22×32
13+23+33=36=×32×42
…
用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問題:
(1)填空:13+23+33+…+(n﹣1)3+n3=×( )2×( )2(n為正整數(shù));
(2)計算:
①13+23+33+…+493+503;
②23+43+63+…+983+1003
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