Question

【題目】如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)為A（1，4），拋物線與y軸交于點(diǎn)B（0，3），與x軸交于C、D兩點(diǎn)．點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）求C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)及△BCD的面積；

（3）若點(diǎn)P在x軸上方的拋物線上，滿足S△PCD=S△BCD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)y=﹣（x﹣1）2+4；(2)C（﹣1，0），D（3，0）；6；(3)P（1+，），或P（1﹣，）

【解析】

試題分析：(1)設(shè)拋物線頂點(diǎn)式解析式y(tǒng)=a（x﹣1）2+4，然后把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入求出a的值，即可得解

(2)令y=0，解方程得出點(diǎn)C，D坐標(biāo)，再用三角形面積公式即可得出結(jié)論；(3)、先根據(jù)面積關(guān)系求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

試題解析：(1)、∵拋物線的頂點(diǎn)為A（1，4）， ∴設(shè)拋物線的解析式y(tǒng)=a（x﹣1）2+4，

把點(diǎn)B（0，3）代入得，a+4=3， 解得a=﹣1， ∴拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）2+4；

(2)由（1）知，拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）2+4； 令y=0，則0=﹣（x﹣1）2+4，

∴x=﹣1或x=3， ∴C（﹣1，0），D（3，0）； ∴CD=4，∴S△BCD=CD×|yB|=×4×3=6；

(3)由(2)知，S△BCD=CD×|yB|=×4×3=6；CD=4， ∵S△PCD=S△BCD，

∴S△PCD=CD×|yP|=×4×|yP|=3， ∴|yP|=， ∵點(diǎn)P在x軸上方的拋物線上，

∴yP＞0， ∴yP=， ∵拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）2+4； ∴=﹣（x﹣1）2+4，

∴x=1±， ∴P（1+，），或P（1﹣，）．