Question

圖1是用鋼絲制作的一個幾何探究工具，其中△ABC內(nèi)接于⊙G，AB是⊙G的直徑，AB=6，AC=3．現(xiàn)將制作的幾何探究工具放在平面直角坐標(biāo)系中（如圖2），然后點A在射線Ox上由點O開始向右滑動，點B在射線Oy上也隨之向點O滑動（如圖3），當(dāng)點B滑動至與點O重合時運動結(jié)束．
（1）試說明在運動過程中，原點O始終在⊙G上；
（2）設(shè)點C的坐標(biāo)為（x，y），試探求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）在整個運動過程中，點C運動的路程是多少？

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙G的直徑，
∴∠AOB=90°（直徑所對的圓周角是直角），
∴原點O始終在⊙G上；

（2）運動過程中，弧AC的長保持不變，
∵AB=6，AC=3，
∴sin∠ABC=，
∴∠ABC=30°，
∴∠ACB=30°，
∴弧AC所對應(yīng)的圓周角∠AGC保持不變，
即弧AC的長保持不變，

由圖2可知，∠AOC=30°，y=，
即自變量x的取值范圍是≤x≤3；

（3）解：如圖1，連接OG．
∵∠AOB是直角，G為AB中點，
∴GO=AB=半徑，
∴原點O始終在⊙G上．
∵∠ACB=90°，AB=6，AC=3，
∴BC=3，
連接OC．則∠AOC=∠ABC，
∴tan∠AOC==，
∴點C在與x軸夾角為∠AOC的射線上運動．
如圖2，C₁C₂=OC₂-OC₁=6-3=3；
如圖3，C₂C₃=OC₂-OC₃=6-3；
∴總路徑為：C₁C₂+C₂C₃=3+6-3=9-3．
分析：（1）因為OG始終是⊙G的半徑，所以原點O始終在⊙G上；
（2）運動過程中，弧AC的長保持不變，弧AC所對應(yīng)的圓周角∠AOC保持不變，等于∠XOC，∠xOC=30°，y=．即自變量x的取值范圍是≤x≤3；
（3）利用勾股定理可求得，點C運動的路程總路徑為：C₁C₂+C₂C₃=3+6-3=9-3．
點評：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運用．解題的關(guān)鍵是會靈活的運用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點的意義求出相應(yīng)的線段的長度或表示線段的長度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．