Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是原點(diǎn)，矩形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，頂點(diǎn)C在y的正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（5，3），拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是點(diǎn)D，連接BD．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）點(diǎn)M是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，以M、B、D為頂點(diǎn)的三角形的面積是6，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿D→B勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿B→A→D勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，以D、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的值．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵矩形ABCD，B（5，3），∴A（5，0），C（0，3）。

∵點(diǎn)A（5，0），C（0，3）在拋物線(xiàn)上，

∴，解得：。

∴拋物線(xiàn)的解析式為：。

（2）∵，

∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=3。

如答圖1所示，設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與BD交于點(diǎn)G，與x軸交于點(diǎn)H，則H（3，0）。

令y=0，即，解得x=1或x=5。

∴D（1，0）�！郉H=2，AH=2，AD=4。

∵，∴GH=DH•tan∠ADB=2×=。

∴G（3，）。

∵S_△MBD=6，即S_△MDG+S_△MBG=6，∴MG•DH+MG•AH=6，即： MG×2+MG×2=6。

解得：MG=3。

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，）或（3，）。

（3）在Rt△ABD中，AB=3，AD=4，則BD=5，∴sinB=，cosB=。

以D、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則：

①若PD=PQ，如答圖2所示，

此時(shí)有PD=PQ=BQ=t，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥BD于點(diǎn)E，

則BE=PE，BE=BQ•cosB=t，QE=BQ•sinB=t，

∴DE=t+t=t。

由勾股定理得：DQ²=DE²+QE²=AD²+AQ²，

即（t）²+（t）²=4²+（3﹣t）²，整理得：11t²+6t﹣25=0，

解得：t=或t=﹣5（舍去）。

∴t=。

②若PD=DQ，如答圖3所示，

此時(shí)PD=t，DQ=AB+AD﹣t=7﹣t，

∴t=7﹣t�！鄑=。

③若PQ=DQ，如答圖4所示，

∵PD=t，∴BP=5﹣t。

∵DQ=7﹣t，∴PQ=7﹣t，AQ=4﹣（7﹣t）=t﹣3。

過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AB于點(diǎn)F，

則PF=PB•sinB=（5﹣t）×=4﹣t，BF=PB•cosB=（5﹣t）×=3﹣t。

∴AF=AB﹣BF=3﹣（3﹣t）=t。

過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AD于點(diǎn)E，則PEAF為矩形，

∴PE=AF=t，AE=PF=4﹣t�！郋Q=AQ﹣AE=（t﹣3）﹣（4﹣t）=t﹣7。

在Rt△PQE中，由勾股定理得：EQ²+PE²=PQ²，即：（t﹣7）²+（t）²=（7﹣t）²，

整理得：13t²﹣56t=0，解得：t=0（舍去）或t=。

∴t=。

綜上所述，當(dāng)t=或t=或t=時(shí)，以D、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形。

【解析】

試題分析：（1）求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式。

（2）如答圖1所示，關(guān)鍵是求出MG的長(zhǎng)度，利用面積公式解決；注意，符合條件的點(diǎn)M有2個(gè)，不要漏解。

（3）△DPQ為等腰三角形，可能有三種情形，需要分類(lèi)討論：

①若PD=PQ，如答圖2所示；②若PD=DQ，如答圖3所示；③若PQ=DQ，如答圖4所示。