Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，∠ABC=30°．D是CB上一點(diǎn)，DC=1cm．P、Q是直線CB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿直線CB向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從D點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度沿直線CB向右運(yùn)動(dòng)，以PQ為一邊在CB的上方作等邊三角形PQR，如圖是其運(yùn)動(dòng)過程中的某一位置．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t（s）．
（1）△PQR的邊長(zhǎng)是______cm（用含有t的代數(shù)式表示）；當(dāng)t=______時(shí)，點(diǎn)R落在AB上．
（2）若等邊△PQR與△ABC重疊部分的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．
（3）在P、Q移動(dòng)的同時(shí)，以點(diǎn)A為圓心、tcm為半徑的⊙A也在不斷變化，請(qǐng)直接寫出⊙A與△PQR的三邊所在的直線相切時(shí)t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意，直接將△PQR的三邊相加即可得出含t的表達(dá)式；易得△QRB為等腰三角形，可得到QB=QR=QP=t+1，又QB=CB-CP-PQ，兩式聯(lián)立即有5-2t=t+1，解之即可得出t．
（2）易得重疊部分為一個(gè)小等邊三角形，依題意分別得出底邊及其對(duì)應(yīng)的高即可得出重疊部分的面積．
（3）結(jié)合題意，可知有三種情況，①以點(diǎn)A為圓心、tcm為半徑的⊙A與PQ所在的直線相切，②⊙A與PQ所在的直線相切，③⊙A與RQ所在的直線相切；分別利用切線的性質(zhì)以及勾股定理，即可得出各種情況對(duì)應(yīng)的t值．
解答：解：（1）△PQR的邊長(zhǎng)PQ=CQ-CP=（CD+DQ）-CP=（1+2t）-t=（t+1）cm；
∵當(dāng)t為某值時(shí)，點(diǎn)R落在AB上，三角形RPQ是等邊三角形，
∴QB=QR=QP=t+1，∠RQD=60°，
∴∠RQB=120°，∠QRB=30°，
∴△QRB為等腰三角形，
∵QB=CB-CP-PQ=6-t-（t+1）=5-2t，
∴5-2t=t+1，
解得：t=s；


（2）分為四種情況：①當(dāng)0≤t＜時(shí)，如圖1：重疊部分是△RPQ，
∵△RPQ的邊長(zhǎng)為t+1，
∴高為（t+1）cm，
∴y=×（t+1）×（t+1）=（t+1）²；
②當(dāng)≤t＜時(shí)，如圖2：重疊部分為四邊形MNQP，
∵∠B=30°，且△RPQ為等邊三角形，
∴∠RPQ=∠R=60°，
∴∠PMN=90°，且PB=BC-CP=6-t，∠RNM=30°，
∴PM=（6-t），
∴MR=PR-PM=（t+1）-（6-t）=（3t-4），
∴MN=MR•tan60°=（3t-4），
∴y=（t+1）²-（3t-4）²
=-t²+t-
=-（t-2）²+；
③當(dāng)≤t＜6時(shí)，如圖3：同理可得y=（6-t）²；
④當(dāng)t≥6時(shí)，如圖4：此時(shí)y=0．

（3）（一）如圖a，
⊙A與RQ所在的直線相切時(shí)，切點(diǎn)為N，N在QR的延長(zhǎng)線上，AB與NQ交于L點(diǎn)，
AN=t，得到AL=2t，
QB=5-2t，得到BL=（5-2t），
AB=4=BL-AL=（5-2t）-2t，
得到t=．
即t=．
如圖b，若NR交AB與E，
∵⊙A半徑=AN=t，則AE=2t，QE=QB=5-2t，BE=（5-2t），
AB=4=BE+AE=（5-2t）+2t，
∴t=，
（二）如圖c：
當(dāng)⊙A與PQ所在的直線相切時(shí)，
∵AC⊥PQ所在的直線，
∴⊙A半徑=AC=t=2．
此時(shí)，若設(shè)AB與PR相交于M，
則AM=⊙A半徑=2，
∴BM=4-2=2，
∴∠PMB=90°，
∴⊙A 也同時(shí)與PR相切．

（三）如圖d：
⊙A與PR所在的直線相切時(shí)，切點(diǎn)為M，可知道點(diǎn)M在AB延長(zhǎng)線上，
在Rt△PBM中，∠ABC=30°，有AM=t，BM=AM-AB=t-4，斜邊PB=CP-BC=t-6，
所以PB=BM，有（t-6）=t-4，
得到t=4+6；

綜上所述，當(dāng)⊙A與QR所在的直線相切時(shí)，t=或t=，；
當(dāng)⊙A與PQ所在的直線相切時(shí)，t=2；
當(dāng)⊙A與PR所在的直線相切，t=2或者t=4+6．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識(shí)．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，最后一問屬于開放性試題，主要考查的是切線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用；本題是一道動(dòng)態(tài)幾何題，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．