(1)證明:∵M(jìn)是BC的中點(diǎn),
∴BM=CM,
∵BE⊥AM于E,CD⊥AM于D,
∴∠E=∠CDM=90°,
在△BME和△CMD中,
,
∴△BME≌△CMD(AAS),
∴CD=BE;
(2)①AB
2+AC
2=2.5BC
2.
②結(jié)論仍然成立.
理由如下:∵AM是△ABC的中線,
∴PM=BM=CM=
BC,
∵k=1,
∴AP=PM,
∴AM=2PM=BC,
在Rt△ABM中,AB
2=AM
2+BM
2=BC
2+
BC
2=
BC
2,
在Rt△ACM中,AC
2=AM
2+CM
2=BC
2+
BC
2=
BC
2,
∴AB
2+AC
2=
BC
2+
BC
2=2.5BC
2;
即AB
2+AC
2=2.5BC
2;
③結(jié)論:銳角三角形:AB
2+AC
2=
BC
2,
鈍角三角形:AB
2+AC
2=
BC
2,
理由如下:設(shè)EM=DM=a,則AE=AM+a,AD=AM-a,
在Rt△ABE中,AB
2=AE
2+BE
2=(AM+a)
2+BE
2=AM
2+2AM•a+a
2+BE
2,
在Rt△ACD中,AC
2=AD
2+CD
2=(AM-a)
2+CD
2=AM
2-2AM•a+a
2+CD
2,
∴AB
2+AC
2=2AM
2+(a
2+BE
2)+(a
2+CD
2),
∵BE⊥AM于E,CD⊥AM于D,
∴∠E=∠CDM=90°,
∴a
2+BE
2=BM
2=
BC
2,a
2+CD
2=CM
2=
BC
2,
∴AB
2+AC
2=2AM
2+
BC
2,
∵
=k,
∴AP=kPM,
∵∠BPC=90°,AM是△ABC的中線,
∴PM=
BC,
若△ABC是銳角三角形,則AM=AP+PM=kPM+PM=(k+1)PM=
BC,
∴AB
2+AC
2=2×(
BC)
2+
BC
2=
BC
2,
即AB
2+AC
2=
BC
2;
若△ABC是鈍角三角形,則AM=PM+AP=PM-kPM=(1-k)PM=
BC,
AB
2+AC
2=2×(
BC)
2+
BC
2=
BC
2,
即AB
2+AC
2=
BC
2.
分析:(1)根據(jù)中點(diǎn)的定義可得BM=CM,然后利用“角角邊”證明△BME和△CMD全等,再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證;
(2)①②根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得PD=
BC,然后求出BC=AD,再根據(jù)勾股定理列式其解即可;
③設(shè)EM=DM=a,表示出AE、AD,然后根據(jù)勾股定理列式表示出AB
2、AC
2,再求出AB
2+AC
2,再次利用勾股定理列式求出BE
2+x
2=CD
2+x
2=
BC
2,然后根據(jù)勾股比用PM表示出AM,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得PM=
BC,然后分△ABC是銳角三角形與鈍角三角形兩種情況代入進(jìn)行計(jì)算即可得解.
點(diǎn)評(píng):本題考查了勾股定理的應(yīng)用,全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì),讀懂題目信息,在不同的直角三角形中利用勾股定理列式用AM
2表示出AB
2+AC
2是解題的關(guān)鍵,也是本題的難點(diǎn).