Question

（2007•呼和浩特）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1．點(diǎn)P在AC上，PQ⊥BP，交CD于Q，PE⊥CD，交于CD于E．點(diǎn)P從A點(diǎn)（不含A）沿AC方向移動(dòng)，直到使點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合為止．
（1）設(shè)AP=x，△PQE的面積為S．請(qǐng)寫出S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并確定x的取值范圍．
（2）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△PQE的面積是否有最大值？若有，請(qǐng)求出最大值及此時(shí)AP的取值；若無(wú)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC，垂足為F，易證△PFC∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，可以求出BC、AB．證明△ABK∽△ACB，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等就可以求解．
（2）△PQE面積有最大值，就是求函數(shù)的最值問(wèn)題，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)就可以求解．
解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC，垂足為F．
∵在矩形ABCD中，PF∥AB
∴△PFC∽△ABC（1分）
∴
又∵AP=x，BC=AD=1，AB=2
又∵在Rt△ABC中，
∴PC=3-x
∴
∴
（2分）
又∵PE⊥CD
∴∠PEC=90°
又在四邊形PFCE中，∠PFC=∠BCD=∠PEC=90°
∴四邊形PFCE為矩形
∴∠FPE=90°
又∵PQ⊥BP
∴∠BPQ=90°
∴∠FPE=∠BPQ
∴∠EPQ+∠QPF=∠BPF+∠FPQ
∴∠EPQ=∠BPF又∠PEQ=∠BFP=90°
∴△PEQ∽△PFB（3分）
∴
又∵PE=FC
∴
又∵
∴
∴
∴
∴（4分）
∴S=EQ•PE=ו
∴或（5分）
過(guò)點(diǎn)B作BK⊥AC，垂足為K．
在Rt△ABC中，由等積法可得AC•BK=AB•BC（6分）
∴AC•BK=AB•BC
∴BK==
由題意可得當(dāng)Q與C重合時(shí)，P與K重合即AP=AK，
由△ABK∽△ACB
得
即
∴
∴x的取值范圍是（7分）

（2）△PQE面積有最大值（8分）
由（1）可得=（9分）
∴當(dāng)即時(shí)，S面積最大，即S_最大=．（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)與三角形的相似相結(jié)合的題目，難度較大．