Question

如圖，在△ABC中，D是BC邊的中點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F，連接BF．
（1）求證：AF=BD；
（2）要使四邊形AFBD是正方形，△ABC應滿足什么條件？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由D和E分別為BC及AD的中點，根據(jù)線段中點定義可得BD=CD，AE=DE，再由AF與BC平行，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等可得兩對角相等，利用AAS可得三角形AEF與三角形DCE全等，根據(jù)全等三角形的對應邊相等可得AF=CD，等量代換可得證；
（2）當△ABC為等腰直角三角形時，四邊形AFBD是正方形，理由為：由第一問證得的AF=BD，且AF與BD平行，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形可得四邊形AFBD為平行四邊形，若三角形ABC為等腰直角三角形，D為斜邊BC的中點，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AD=BD，且根據(jù)三線合一得到AD與BC垂直，可得平行四邊形的鄰邊相等且有一個角為直角，即可判定出四邊形AFBD為正方形．

解答：解：（1）∵D為BC的中點，E為AD的中點，
∴BD=CD，AE=DE（中點定義），
又AF∥BC（已知），
∴∠AFE=∠DCE，∠FAE=∠CDE（兩直線平行內(nèi)錯角相等），
在△AEF和△DEC中，

∠AFE=∠DCE ∠FAE=∠CDE AE=DE

，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD（全等三角形的對應邊相等），
∴AF=BD（等量代換）；

（2）當△ABC為等腰直角三角形，且∠BAC=90°時，四邊形AFBD是正方形，理由如下：
∵AF=BD，AF∥BC，
∴四邊形AFBD為平行四邊形，
又∵等腰直角三角形ABC，且D為BC的中點，
∴AD=BD，∠ABD=90°，
∴四邊形AFBD為正方形．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正方形的判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，其中全等三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，以及HL（直角三角形），常常利用這些方法來解決三角形的邊或角的相等問題．