Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=﹣1，求拋物線經過A（1，0），C（0，3）兩點，與x軸交于A、B兩點．

（1）若直線y=mx+n經過B、C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；

（2）在該拋物線的對稱軸x=﹣1上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求出點M的坐標；

（3）設點P為該拋物線的對稱軸x=﹣1上的一個動點，求使△BPC為直角三角形的點P的坐標．（提示：若平面直角坐標系內兩點P（x1，y1）、Q（x2，y2），則線段PQ的長度PQ=）．

Answer 1

【答案】（1）直線的解析式是y=x+3；拋物線的解析式是y=﹣x2﹣2x+3；（2）M的坐標是（﹣1，2）；（3）P的坐標是（﹣1，﹣1）或（﹣1，2）或（﹣1，4）或（﹣1，﹣2）．

【解析】

試題分析：（1）根據A和B關于x=﹣1對稱即可求得B的坐標，然后利用待定系數法即可求得拋物線的解析式；

（2）求得BC與對稱軸的交點就是M；

（3）設P的坐標是（﹣1，p），利用兩點之間的距離公式表示出BC、BP和PC的長，然后分成△BPC的三邊分別是斜邊三種情況討論，利用勾股定理列方程求得p的值，得到P的坐標．

解：（1）A（1，0）關于x=﹣1的對稱點是（﹣3，0），則B的坐標是（﹣3，0）．

根據題意得：，

解得：，

則拋物線的解析式是y=x+3；

根據題意得：，

解得：．

則拋物線的解析式是y=﹣x2﹣2x+3；

（2）在y=x+3中令x=﹣1，則y=﹣1+3=2，

則M的坐標是（﹣1，2）；

（3）設P的坐標是（﹣1，p）．

則BP2=（﹣1+3）2+p2=4+p2．

PC=（0+1）2+（3﹣p）2=p2﹣6p+10．

BC=32+32=18．

當BC時斜邊時，BP2+PC2=BC2，則（4+p2）+（p2﹣6p+10）=18，

解得：p=﹣1或2，

則P的坐標是（﹣1，﹣1）或（﹣1，2）；

當BP是斜邊時，BP2=PC2+BC2，則4+p2=（p2﹣6p+10）+18，

解得：p=4，

則P的坐標是（﹣1，4）；

當PC是斜邊時，PC2=BP2+BC2，則p2﹣6p+10=4+p2+18，

解得：p=﹣2，

則P的坐標是（﹣1，﹣2）．

總之，P的坐標是（﹣1，﹣1）或（﹣1，2）或（﹣1，4）或（﹣1，﹣2）．