Question

（2012•廣安）如圖，已知雙曲線(xiàn)y=

k

x

和直線(xiàn)y=mx+n交于點(diǎn)A和B，B點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，-3），AC垂直y軸于點(diǎn)C，AC=

3

2

．
（1）求雙曲線(xiàn)和和直線(xiàn)的解析式．
（2）求△AOB的面積．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)解析式，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式解答；根據(jù)AC=

3

2

可得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，然后求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式求解直線(xiàn)的解析式；
（2）設(shè)直線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為D，利用直線(xiàn)的解析式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而得到OD的長(zhǎng)度，再根據(jù)S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD，列式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）∵點(diǎn)B（2，-3）在雙曲線(xiàn)上，
∴

k

2

=-3，
解得k=-6，
∴雙曲線(xiàn)解析式為y=-

6

x

，
∵AC=

3

2

，
∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是-

3

2

，
∴y=-

6

- 3 2

=4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-

3

2

，4），
∴

- 3 2 m+n=4 2m+n=-3

，
解得

m=-2 n=1

，
∴直線(xiàn)的解析式為y=-2x+1；

（2）如圖，設(shè)直線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為D，
當(dāng)y=0時(shí)，-2x+1=0，
解得x=

1

2

，
所以，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

1

2

，0），
∴OD=

1

2

，
S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD=

1

2

×

1

2

×4+

1

2

×

1

2

×3=1+

3

4

=

7

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)y=

k

x

中k的幾何意義．這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類(lèi)題一定要正確理解k的幾何意義．