已知:如圖,⊙O的內(nèi)接△ABC中,∠BAC=45°,∠ABC=15°,AD∥OC并交BC的延長線于D,精英家教網(wǎng)OC交AB于E.
(1)求∠D的度數(shù);
(2)求證:AC2=AD•CE;
(3)求
BCCD
的值.
分析:(1)根據(jù)圓周角定理:一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.等邊對等角及平行線的性質(zhì)可求∠D的度數(shù);
(2)乘積的形式通?梢赞D(zhuǎn)化為比例的形式,通過證明三角形相似得出.
(3)延長BO交DA的延長線于F,連接OA.通過證明△BOC∽△BFD得出
BC
CD
的值.
解答:精英家教網(wǎng)(1)解:如圖,連接OB(1分)
∵⊙O的內(nèi)接△ABC中,∠BAC=45°,
∴∠BOC=2∠BAC=90°
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB=45°
∵AD∥OC,
∴∠D=∠OCB=45°(2分)

(2)證明:∵∠BAC=45°,∠D=45°,
∴∠BAC=∠D(3分)
∵AD∥OC,
∴∠ACE=∠DAC(4分)
∴△ACE∽△DAC
AC
DA
=
CE
AC

∴AC2=AD•CE(5分)
精英家教網(wǎng)
(3)解:方法一:如圖,延長BO交DA的延長線于F,連接OA
∵AD∥OC,
∴∠F=∠BOC=90°
∵∠ABC=15°,
∴∠OBA=∠OBC-∠ABC=30°
∵OA=OB,
∴∠FOA=∠OBA+∠OAB=60°,∠OAF=30°、
∴OF=
1
2
OA
∵AD∥OC,
∴△BOC∽△BFD
BC
BD
=
BO
BF


BC
CD
=
BO
OF
=
OA
OF
=2,即
BC
CD
的值為2(7分)
方法二:作OM⊥BA于M,設(shè)⊙O的半徑為r,可得BM=
3
2
r
,OM=
r
2
,∠MOE=30°,
ME=OM•tan30°=
3
6
r
,BE=
2
3
3
r
,AE=
3
3
r
,所以
BC
CD
=
BE
EA
=2
點評:本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì),同時考查了圓周角定理和平行線的性質(zhì),綜合性較強,難度較大.
練習冊系列答案
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

已知:如圖,⊙O的內(nèi)接△ABC中,∠BAC=45°,∠ABC=15°,AD∥OC并交BC的延長線于D,OC交AB于E.

 

 

1.求∠D的度數(shù);

2.求證:AC2=AD·CE;

3.求的值.

 

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科目:初中數(shù)學 來源:2011-2012學年北京市九年級上學期期中考試數(shù)學卷 題型:解答題

 已知:如圖,⊙O的內(nèi)接△ABC中,∠BAC=45°,∠ABC =15°,ADOC并交BC的延長線于D,OCABE

1.(1)求∠D的度數(shù);

2.(2)求證:;

3.(3)求的值。

 

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科目:初中數(shù)學 來源:2012屆北京市西城區(qū)九年級下學期期末檢測數(shù)學卷 題型:解答題

已知:如圖,⊙O的內(nèi)接△ABC中,∠BAC=45°,∠ABC=15°,AD∥OC并交BC的延長線于D,OC交AB于E.

 

 

1.求∠D的度數(shù);

2.求證:AC2=AD·CE;

3.求的值.

 

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