Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CB=CA=，點E、F在線段AB上（不與端點A、B重合），且∠ECF=45°．
（1）求證：BF•AE=2；
（2）判斷BE、EF、FA三條線段所組成的三角形的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據等腰直角三角形的性質求出∠A與∠B的度數，再根據∠ECF=45°，可知∠B=∠ECF，根據等量代換可得出∠CEF=∠BCF，故可得出△BCF∽△AEC，根據相似三角形的對應邊成比例即可得出結論；
（2）將CE繞點C順時針旋轉90°得到CG，連結GA，GF，先由全等三角形的判定定理得出△BCE≌△ACG，根據全等三角形的性質可得出△FAG中，∠FAG=90°，由勾股定理可知FG²=AG²+AF²=BE²+AF²．故可得出∠FCG=∠ECG-∠ECF=45°=∠ECF，根據全等三角形的判定定理可知△BCF≌△GCF，故可得出EF=GF，故EF²=BE²+AF²，由此可得出結論．
解答：（1）證明：∵∠ACB=90°，CB=CA=，
∴∠A=∠B==45°．
∵∠ECF=45°，
∴∠B=∠ECF，
又∵∠CEF=∠B+∠BCE=45°+∠BCE，
∠BCF=∠ECF+∠BCE=45°+∠BCE，
∴∠CEF=∠BCF．
∴△BCF∽△AEC．
∴=，
∴BF•AE=AC•BC=•=2；

（2）解：BE、EF、FA三條線段所組成的三角形是直角三角形．
（解法一）如圖1，將CE繞點C順時針旋轉90°得到CG，連結GA，GF，
∵∠BCE+∠ECA=∠ACG+∠ECA=90°
∴∠BCE=∠ACG．
∵在△BCE與△ACG中，
，
∴△BCE≌△ACG（SAS），
∴∠B=∠CAG=45°，BE=AG，
∴∠FAG=∠FAC+∠CAG=90°．
在Rt△FAG中，∠FAG=90°，
∴FG²=AG²+AF²=BE²+AF²．
又∵∠ECF=45°，
∴∠FCG=∠ECG-∠ECF=45°=∠ECF．
∵在△BCF與△GCF中，
，
∴△ECF≌△GCF（SAS）．
∴EF=GF，
∴EF²=BE²+AF²．
∴BE、EF、FA三條線段所組成的三角形是直角三角形．
（解法二）如圖，過A作AG⊥AF，使得AG=BE，連結GF，
∴∠CAG=∠BAG-∠BAC=45°=∠B．
∵在△BCE與△ACG中，
，
∴△BCE≌△ACG（SAS）．
∴CE=CG，∠BCE=∠ACG．
∵∠ECG=∠ACG+∠ECA=∠BCE+∠ECA=90°，
∴∠FCG=∠ECG-∠FCG=45°=∠ECF．
∵在△BCF與△GCF中，

∴△ECF≌△GCF（SAS）．
∴EF=GF，
在Rt△FAG中，∠FAG=90°，
∴FG²=AG²+AF²=BE²+AF²．
∴EF²=BE²+AF²．
∴BE、EF、FA三條線段所組成的三角形是直角三角形．
（解法三）∵CB=CA=，∠ACB=90°，
∴．
∴BE+EF+FA=2．
設BE=a，EF=b，FA=c，
則a+b+c=2．
∴（a+b+c）²=4，
即a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=4．①
又∵BF•AE=2，
∴（a+b）（b+c）=2，即ab+ac+b²+bc=2．②
①-②×2得：a²+c²-b²=0，
即a²+c²=b²，EF²=BE²+AF²．
∴BE、EF、FA三條線段所組成的三角形是直角三角形．
點評：本題考查的是全等三角形的判定與性質，涉及到勾股定理的逆定理、圖形旋轉不變性的性質等知識，難度適中．