Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB分別交x、y軸于點(diǎn)A、B，直線BC分別交x、y軸于點(diǎn)C、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），∠ABO=30°，且AB⊥BC．

（1）求直線BC和AB的解析式；

（2）將點(diǎn)B沿某條直線折疊到點(diǎn)O，折痕分別交BC、BA于點(diǎn)E、D，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使得點(diǎn)D、E、F為頂點(diǎn)的三角形是以DE為斜邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出F點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在兩個(gè)點(diǎn)，使得這兩個(gè)點(diǎn)與B、C兩點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是正方形？若存在，請(qǐng)求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x+3x，y=-x+3（2）點(diǎn)F（0，0）或（﹣3，0）（3）點(diǎn)M（﹣9﹣3，9），點(diǎn)N（﹣3，9+3）；點(diǎn)F（，），點(diǎn)E坐標(biāo)為（，）

【解析】

（1）根據(jù)題意可求點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求解析式；（2）由題意可證DE是三角形的中位線，可求點(diǎn)D，點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理可列方程，即可求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）分BC為邊，BC為對(duì)角線討論，根據(jù)正方形的性質(zhì)，可求點(diǎn)的坐標(biāo)．

（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0）

∴AO=3

∵∠ABO=30°，∠AOB=90°

∴BO=AO=3，AB=2OA=6，∠OAB=60°，

又∵AB⊥BC

∴∠ACB=30°

∴AC=2AB=12

∴OC=AC﹣OA=12﹣3=9

∵OC=9，OB=3

∴點(diǎn)B（0，3），點(diǎn)C（﹣9，0）

設(shè)直線BC解析式y(tǒng)=kx+b

，

解得：k=，b=3

∴直線BC解析式y(tǒng)=x+3

設(shè)直線AB解析式y(tǒng)=mx+n

，

解得：m=﹣，n=3

∴直線AB解析式y(tǒng)=﹣x+3

（2）

∵折疊，點(diǎn)O與點(diǎn)B重合

∴DE是BO的垂直平分線

∴EO=BE，BD=OD

∴∠EBO=∠EOB，∠DBO=∠DOB

∵BO⊥CO

∴∠EBO+∠ECO=90°，∠EOB+∠EOC=90°

∴∠EOC=∠ECO

∴CE=EO

∴CE=BE

同理BD=DA

∴DE=AC=6

∵點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)B（0，3），點(diǎn)C（﹣9，0）

∴點(diǎn)E（﹣，），點(diǎn)D（，）

設(shè)點(diǎn)F（x，0）

∵△EFD是直角三角形，DE是斜邊

∴DE2=EF2+DF2．

∴36=（x+）2++（x﹣）2+

解得：x1=0，x2=﹣3

∴點(diǎn)F（0，0）或（﹣3，0）

（3）若BC為邊，在BC上方和下方作正方形，如圖：四邊形BCFE是正方形，四邊形BCMN是正方形

過點(diǎn)F作FH⊥AC于點(diǎn)H，過點(diǎn)E作EG⊥BO于點(diǎn)G

∵四邊形BCFE是正方形

∴BC=CF，∠BCF=90°

∴∠BCO+∠FCH=90°，且∠FCH+∠CFH=90°

∴∠BCO=∠CFH且∠BOC=∠CHF=90°，BC=CF

∴△BCO≌△CFO（AAS）

∴CH=OB=3，HF=CO=9

∴OH=9﹣3

∴點(diǎn)F（﹣9+3，﹣9）

同理可得△BEG≌△CBO

∴BG=CO=9，GE=BO=3

∴OG=9﹣3

∴點(diǎn)E（3，﹣9+3）

同理可得：點(diǎn)M（﹣9﹣3，9），點(diǎn)N（﹣3，9+3）

若BC為對(duì)角線，如圖：四邊形BECF是正方形

過點(diǎn)F作FM⊥CO于點(diǎn)M，作FN⊥BO于點(diǎn) N

∵FM⊥CO，F(xiàn)N⊥BO，BO⊥CO

∴四邊形OMFN是矩形

∴OM=FN，ON=FM

∵四邊形BECF是正方形

∴CF=BF，∠CFB=90°

∵∠CFB=∠COB=90°

∴點(diǎn)C，點(diǎn)B，點(diǎn)O，點(diǎn)F四點(diǎn)共圓

∴∠FCO=∠OBF，且CF=BF，∠FMC=∠FNB=90°

∴△FMC≌△FNB（AAS）

∴FM=FN，CM=BN

∴邊形FNOM是正方形

∴OM=ON=FM=FN

∵CM+OM=9，BN﹣ON=3

∴OM=ON=，CM=BN=

∴點(diǎn)F（，）

同理可求點(diǎn)E坐標(biāo)為（，）