Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣+bx+c圖象經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）若C（m，m﹣1）是拋物線上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，D是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），過(guò)點(diǎn)D分別作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F.

①求證：四邊形DECF是矩形；

②連結(jié)EF，線段EF的長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出EF的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見(jiàn)解析；②存在. EF的最小值是2.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；

（2）把C（m，m-1）代入求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而求得AH=4，CH=2，BH=1，AB=5，然后根據(jù)，∠AHC=∠BHC=90°得出△AHC∽△CHB，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等求得∠ACH=∠CBH，因?yàn)?/span>∠CBH+∠BCH=90°所以∠ACH+∠BCH=90°從而求得∠ACB=90°，先根據(jù)有兩組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形求得四邊形DECF是平行四邊形，進(jìn)而求得DECF是矩形；

（3）根據(jù)矩形的對(duì)角線相等，求得EF=CD，因?yàn)楫?dāng)CD⊥AB時(shí)，CD的值最小，此時(shí)CD的值為2，所以EF的最小值是2；

試題解析：（1）∵拋物線圖象經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，

∴根據(jù)題意，得，解得，

所以拋物線的解析式為： ；

（2）①證明：∵把C（m，m-1）代入得

∴，

解得：m=3或m=-2，

∵C（m，m-1）位于第一象限，

∴，

∴m＞1，

∴m=-2舍去，

∴m=3，

∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，2），

由A（-1，0）、B（3，0）、C（3，2）得 AH=4，CH=2，BH=1，AB=5

過(guò)C點(diǎn)作CH⊥AB，垂足為H，則∠AHC=∠BHC=90°，

∵，∠AHC=∠BHC=90°

∴△AHC∽△CHB，

∴∠ACH=∠CBH，

∵∠CBH+∠BCH=90°

∴∠ACH+∠BCH=90°

∴∠ACB=90°，

∵DE∥BC，DF∥AC，

∴四邊形DECF是平行四邊形，

∴DECF是矩形；

②存在；

連接CD

∵四邊形DECF是矩形，

∴EF=CD，

當(dāng)CD⊥AB時(shí)，CD的值最小，

∵C（3，2），

∴DC的最小值是2，

∴EF的最小值是2；