Question

【題目】在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，D 是 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn) E 是邊 AC 上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F 是邊 BC 上的一動(dòng)點(diǎn)．

（1）若 AE=CF，試證明 DE=DF；

（2）在點(diǎn) E、點(diǎn) F 的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若 DE⊥DF，試判斷 DE 與 DF 是否一定相等？ 并加以說(shuō)明．

（3）在（2）的條件下，若 AC=2，四邊形 ECFD 的面積是一個(gè)定值嗎？若不是， 請(qǐng)說(shuō)明理由，若是，請(qǐng)直接寫(xiě)出它的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析;(3）四邊形 ECFD的面積是一定值1．

【解析】

(1)根據(jù)已知條件，運(yùn)用SAS判定△DAE≌△DCF,即可得出對(duì)應(yīng)邊DE= DF,

(2)根據(jù) ASA判定△DAE≌△DCF,即可得出DE=DF，

(3)根據(jù)△DAE≌△DCF,可得S△ADE =S△DCF,進(jìn)而得出S四邊形ECFD =S△DCF +S△CDE =S△ADE +S△CDE=S△ACD,再根據(jù)S△ACD=S△ABC=1,即可解題。

解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中點(diǎn)，

∴∠A=∠DCF=45°，CD=AB=AD，

在△DAE和△DCF中，

，

∴△DAE≌△DCF（SAS），

∴DE=DF；

（2）DE與DF一定相等．

證明：∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中點(diǎn)，

∴∠A=∠DCF=45°，CD=AB=AD，CD⊥AB，

∴∠ADC=∠EDF=90°，

∴∠ADE=∠CDF，

在△DAE和△DCF中，

，

∴△DAE≌△DCF（ASA），

∴DE=DF；

（3）四邊形 ECFD的面積是一定值1．

由（2）可得，△DAE≌△DCF，

∴△ADE的面積=△DCF的面積，

∴四邊形ECFD的面積=△DCF的面積+△CDE的面積=△ADE的面積+△CDE的面積=△ACD的面積，

又∵∠ACB=90°，AC=BC=2，

∴△ABC的面積=×2×2=2，

又∵D是AB的中點(diǎn)，

∴△ACD的面積=×△ABC的面積=1，

即四邊形ECFD的面積=1．