Question

（2006•鹽城）已知：如圖，A（0，1）是y軸上一定點(diǎn)，B是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊，在∠OAB的外部作∠BAE=∠OAB，過B作BC⊥AB，交AE于點(diǎn)C．
（1）當(dāng)B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，求線段AC的長；
（2）當(dāng)點(diǎn)B在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)C的縱、橫坐標(biāo)分別為y、x，試求y與x的函數(shù)關(guān)系式（當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)C也與O點(diǎn)重合）；
（3）設(shè)過點(diǎn)P（0，-1）的直線l與（2）中所求函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)M₁（x₁，y₁）、M₂（x₂，y₂），且x₁²+x₂²-6（x₁+x₂）=8，求直線l的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意得：∠AOB=∠ABC=90°，∠OAB=∠CAB，所以△AOB∽△ABC，由相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得；
（2）當(dāng)B不與O重合時(shí)，延長CB交y軸于點(diǎn)D，過C作CH⊥x軸，交x軸于點(diǎn)H，則可證得AC=AD，因?yàn)锳O⊥OB，AB⊥BD，所以△ABO∽△BDO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得；
（3）首先求得交點(diǎn)坐標(biāo)的方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．
解答：解：（1）方法一：在Rt△AOB中，可求得AB=，（1分）
∵∠OAB=∠BAC，∠AOB=∠ABC=Rt90°
∴△ABO∽△ACB，（2分）
∴，
由此可求得：AC=；（3分）
方法二：由題意知：tan∠OAB=，（1分）
由勾股定理可求得AB=2分，
在△ABC中，tan∠BAC=tan∠OAB=，
可求得AC=；（3分）

（2）方法一：當(dāng)B不與O重合時(shí)，延長CB交y軸于點(diǎn)D，
過C作CH⊥x軸，交x軸于點(diǎn)H，則可證得AC=AD，
∵AO⊥OB，AB⊥BD，
∴△ABO∽△BDO，
則OB²=AO×OD，（6分）
即²=1×|-y|，
化簡得：y=，
當(dāng)O、B、C三點(diǎn)重合時(shí)，y=x=0，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=；（7分）
方法二：過點(diǎn)C作CG⊥x軸，交AB的延長線于點(diǎn)H，
則AC²=（1-y）²+x²=（1+y）²，化簡即可得；

（3）設(shè)直線的解析式為y=kx+b，
則由題意可得：，
消去y得：x²-4kx-4b=0，
則有，
由題設(shè)知：x₁²+x₂²-6（x₁+x₂）=8，
即（4k）²+8b-24k=8，且b=-1，
則16k²-24k-16=0，
解之得：k₁=2，k₂=，
當(dāng)k₁=2、b=-1時(shí)，
△=16k²+16b=64-16＞0，符合題意；
當(dāng)k₂=，b=-1時(shí)，△=16k²+16b=4-16＜0，不合題意（舍去），
∴所求的直線l的解析式為：y=2x-1．
點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要注意仔細(xì)審題，還要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．