Question

19．在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²-2ax+a+4（a＜0）經過點A（-1，0），且與x軸正半軸交于點B，與y軸交于點C，點D是頂點．

（1）填空：a=-1；頂點D的坐標為（1，4）；直線BC的函數表達式為：y=-x+3．
（2）直線x=t與x軸相交于一點．
①當t=3時得到直線BN（如圖1），點M是直線BC上方拋物線上的一點．若∠COM=∠DBN，求出此時點M的坐標．
②當1＜t＜3時（如圖2），直線x=t與拋物線、BD、BC及x軸分別相交于點P、E、F、G，試證明線段PE、EF、FG總能組成等腰三角形；如果此等腰三角形底角的余弦值為$\frac{3}{5}$，求此時t的值．

Answer 1

分析 （1）將點A的坐標代入拋物線y=ax²-2ax+a+4中，即可求出a的值；利用頂點坐標公式求出點D的坐標；求出點B、點C的坐標，再利用待定系數法求出解析式即可；
（2）①設點M的坐標為（m，-m²+2m+3），利用tan∠COM=tan∠DBN，列出方程，求出m的值即可求出點M的坐標；
②利用待定系數法求出直線BD的解析式，利用用含t的式子表示出EF、FG、PE的長度，利用三邊關系即可證明；底角的余弦值為$\frac{3}{5}$，列出關于t的方程，解得即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²-2ax+a+4（a＜0）經過點A（-1，0），
∴a+2a+a+4=0，解得：a=-1；
∴拋物線解析式為：y=-x²+2x+3，
∴$-\frac{2a}=-\frac{2}{-2}$=1，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=$\frac{4×（-1）×3-4}{4×（-1）}$=4，
∴頂點D的坐標為：（1，4）；
令x=0，得：y=3，即點C的坐標為（0，3）；
∵點A（-1，0），對稱軸為直線x=1，
∴1×2-（-1）=3，
∴點B的坐標為（3，0），
設直線BC的解析式為：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為：y=-x+3；
故答案為：-1，（1，4），y=-x+3；
（2）①設點M的坐標為（m，-m²+2m+3），
∵∠COM=∠DBN，
∴tan∠COM=tan∠DBN，
∴$\frac{m}{-{m}^{2}+2m+3}=\frac{2}{4}$，解得：m=±$\sqrt{3}$，
∵m＞0，
∴m=$\sqrt{3}$，
∴點M（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）；
②設直線BD的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{k+b=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線BD的解析式為：y=-2x+6；
∴點P（t，-t²+2t+3），點E（t，-2t+6），點F（t，-t+3），
∴PE=（-t²+2t+3）-（-2t+6）=-t²+4t-3，EF=（-2t+6）-（-t+3）=-t+3，FG=-t+3，
∴EF=FG．
∵EF+FG-PE=2（-t+3）-（-t²+4t-3）=（t-3）²＞0，
∴EF+FG＞PE，
∴當1＜t＜3時，線段PE，EF，FG總能組成等腰三角形，
由題意的：$\frac{\frac{1}{2}PE}{EF}=\frac{3}{5}$，即$\frac{\frac{1}{2}（-{t}^{2}+4t-3）}{-t+3}=\frac{3}{5}$，
∴5t²-26t+33=0，解得：t=3或$\frac{11}{5}$，
∴1＜t＜3，
∴t=$\frac{11}{5}$．

點評 本題主要考查二次函數的綜合題，解決此題時要靈活運用待定系數法求函數解析式，能用含m或t的式子表示出線段的長度是解決此題的關鍵．