Question

（1）如圖所示，BD，CE分別是△ABC的外角平分線，過點A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別為F，G，連接FG，延長AF，AG，與直線BC分別交于點M、N，那么線段FG與△ABC的周長之間存在的數(shù)量關系是什么？
即：FG=

 

（AB+BC+AC）
（直接寫出結果即可）

（2）如圖，若BD，CE分別是△ABC的內(nèi)角平分線；其他條件不變，線段FG與△ABC三邊之間又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，并給予證明．

（3）如圖，若BD為△ABC的內(nèi)角平分線，CE為△ABC的外角平分線，其他條件不變，線段FG與△ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關系？直接寫出你的猜想即可．不需要證明．答：線段FG與△ABC三邊之間數(shù)量關系是

 

．

Answer 1

分析：（1）延長AG交BC于N，延長AF交BC于M，根據(jù)AF⊥BD，AG⊥CE，求證Rt△AGC≌Rt△NGC，可得AC=CN，AG=NG，同理可證：AF=FM，AB=BM．然后得出GF是△AMN的中位線即可．
（2）根據(jù)GF是△AMN的中位線，利用AB+AC=MB+CN=BN+MN+CM+MN，BC=BN+MN+CM，利用等量代換即可．
（3）BD為△ABC的內(nèi)角平分線，CE為△ABC的外角平分線，即可求得GF=

1

2

（AC+BC-AB）

解答：（1）FG=

1

2

（AB+BC+AC）；

（2）答：FG=

1

2

（AB+AC-BC）；
證明：延長AG交BC于N，延長AF交BC于M
∵AF⊥BD，AG⊥CE，
∴∠AGC=∠CGN=90°，∠AFB=∠BFM=90°
在Rt△AGC和Rt△CGN中
∠AGC=∠CGN=90°，CG=CG，∠ACG=∠NCG
∴△AGC≌Rt△NGC
∴AC=CN，AG=NG
同理可證：AF=FM，AB=BM．
∴GF是△AMN的中位線
∴GF=

1

2

MN．
∵AB+AC=MB+CN=BN+MN+CM+MN，BC=BN+MN+CM
∴AB+AC-BC=MN
∴GF=

1

2

MN=

1

2

（AB+AC-BC）；

（3）線段FG與△ABC三邊之間數(shù)量關系是：GF=

1

2

（AC+BC-AB）．

點評：此題主要考查三角形中位線定理和全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，有一定的拔高難度，是一道典型的題目