Question

如圖，正方形ABCD中，P為對角線上的點，PB＝AB，連PC，作CE⊥CP交AP的延長線于E，AE交CD于F，交BC的延長線于G，則下列結論：①E為FG的中點；②；③AD＝DE；④CF=2DF．其中正確結論的個數是（ ）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

Answer 1

C

【解析】

試題分析：①如圖：

正方形ABCD中BA=BC，∠ABP=∠CBP，BP=BP，∴△ABP≌△CBP，那么∠1=∠2，

在直角三角形ABG中∠1與∠G互余，∠PCE=90°，那么∠2與∠5互余，∴∠5=∠G，∴EC=EG．

在直角三角形FCG中∠3與∠G互余，∠4與∠5也互余，而∠5=∠G，

∴∠3=∠4，∴EC=EF，從而得出EG=EF，即E為FG的中點．∴①正確．

③∵AB=BC，∠ABD=∠CBD，BP=BP，∴△ABP≌△CBP，∴∠1=∠2，∵AB∥CD，∴∠1=∠DFA，

∵AB=BP，∴∠1=∠BPA，∵∠DPF=∠APB，∵EF=CE，∴∠3=∠4，∴∠4=∠DPE，

∴D、P、C、E四點共圓，∴∠DEA=∠DCP，∵∠1+∠DAP=90°，∠2+∠DCP=90°，

∴∠DAP=∠DCP=∠DEA，∴AD=DE，∴③正確，

②∵∠3=∠4，AD=DE（③已求證），∴△CEF∽△CDE，∴ CE:CF=CD:CE 即CE²=CF·CD

∵∠3=∠4，∴CE=EF，∵E為FG的中點．∴FG=2CE，即CE=FG，∴=CF•CD，

即FG²=4CF•CD，∴②正確．

④∵四邊形ABCD是正方形，∴△PDF∽△PBA，

∴ ∴ ∴ 即CF=DF∴④錯誤，

綜上所述，正確的由①②③．

故選C．

考點：相似三角形的判定與性質,正方形的性質,勾股定理.