Question

如圖，點(diǎn)P在圓O外，PA與圓O相切于A點(diǎn)，OP與圓周相交于C點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線PO對(duì)稱，已知OA=4，PA=4

3

．求：
（1）∠POA的度數(shù)；
（2）弦AB的長(zhǎng)；
（3）陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AP是圓的切線，則得到△OAP是直角三角形，根據(jù)OA，PA的值，就可以∠POA的度數(shù)；
（2）AB⊥PO，設(shè)AB與PO相交于點(diǎn)D，則AB=2AD，在直角△OAD中，根據(jù)三角函數(shù)就可以求出AD的長(zhǎng)，從而求出AB的長(zhǎng)；
（3）設(shè)陰影部分面積為s，則S=S_△OAP-S_扇形AOC，分別求出△OAP與扇形AOC的面積就可以求出．

解答：解：（1）∵PA是圓O的切線，切點(diǎn)是A．
∴OA⊥PA．
在Rt△APO中，tan∠POA=

PA

OA

=

3

，
∴∠POA=60°；3分

（2）設(shè)AB與PO相交于點(diǎn)D，如圖，
∵點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線PO對(duì)稱，
∴AB⊥PO，且AB=2AD，
在Rt△ADO中，AD=OAsin60°=2

3

，
∴AB=2AD=4

3

；4分

（3）設(shè)陰影部分面積為s，
則S=S_△OAP-S_扇形AOC，
∵S_△OAP=8

3

，S_扇形AOC=

8π

3

，
∴S=8（

3

-

π

3

）．3分

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了垂徑定理，三角函數(shù)，求陰影部分的面積可以轉(zhuǎn)化為一些規(guī)則圖形的面積的和或差來(lái)計(jì)算．