Question

如圖，BC是⊙O的直徑，弦AD⊥BC，垂足為H，已知AD=8，OH=3．
（1）求⊙O的半徑；
（2）若E是弦AD上的一點(diǎn)，且∠EBA=∠EAB，求線段BE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OA，由CB為直徑，AD為弦，且CB垂直于AD，利用垂徑定理得到H為AD的中點(diǎn)，由AD的長(zhǎng)求出AH的長(zhǎng)，在直角三角形AOH中，由AH與OH的長(zhǎng)，利用勾股定理求出OA的長(zhǎng)，即為圓O的半徑；
（2）由已知的兩個(gè)角相等，利用等角對(duì)等邊得到AE=BE，在直角三角形BEH中，設(shè)BE=AE=x，則有EH=AH-AE=4-x，BH=5-3=2，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出BE的長(zhǎng)．
解答：解：（1）連接OA，
∵BC是⊙O的直徑，弦AD⊥BC，
∴AH=AD=4，
在Rt△AOH中，AH=4，OH=3，
根據(jù)勾股定理得：OA==5，
則⊙O的半徑為5；
（2）∵∠EBA=∠EAB，∴AE=BE，
設(shè)BE=AE=x，
在Rt△BEH中，BH=5-3=2，EH=4-x，
根據(jù)勾股定理得：2²+（4-x）²=x²，
解得x=2.5，
則BE的長(zhǎng)為2.5．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂徑定理，勾股定理，以及等腰三角形的性質(zhì)，利用了方程的思想，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵．