Question

繞圓周填寫了十二個正整數(shù)，其中每個數(shù)取自{1，2，3，4，5，6，7，8，9}之中（每一個數(shù)都可以多次出現(xiàn)在圓周上），若圓周上任何三個相鄰位置上的數(shù)之和都是7的倍數(shù)，用S表示圓周上所有十二個數(shù)的和，那么數(shù)S所有可能的取值情況有______種．

Answer 1

對于圓周上相鄰的三個數(shù){a_k，a_k+1，a_k+2}，a_k+a_k+1+a_k+2可以是7，或14，或21，例如，當(dāng)三數(shù)和為7時，{a_k，a_k+1，a_k+2}可以取{1，2，4}或{1，1，5}或{2，2，3}；又對于圓周上任意相鄰的四數(shù)，若順次為a_k，a_k+1，a_k+2，a_k+3，由于a_k+a_k+1+a_k+2和a_k+1+a_k+2+a_k+3都是7的倍數(shù)，那么必有7|a_k+3-a_k，于是a_k與a_k+3或者相等，或者相差7；
又在圓周上，1與8可互換，2與9可互換；現(xiàn)將圓周分成四段，每段三個數(shù)的和皆可以是7，或14，或21，因此四段的總和可以取到{28，35，42，49，56，63，70，77，84}中的任一個值，總共九種情況．
（其中的一種填法是：先在圓周上順次填出十二個數(shù)：1，2，4，1，2，4，1，2，4，1，2，4，其和為28，然后每次將一個1改成8，或者將一個2改成9，每一次操作都使得總和增加7，而這樣的操作可以進(jìn)行八次）．