如圖所示,M、N是⊙O上的兩點(diǎn),連接AM、NA,B、E是、的中點(diǎn),若的度數(shù)為120°.求證:△ACD是正三角形.
證明:連接 AB、AE.∵ B、E是、的中點(diǎn),∴=,=.∴∠ EAC=∠E,∠B=∠DAE.即∠B+∠BAC=∠E+∠DAE.∴∠ ACD=∠ADE.又的度數(shù)為120°,∴∠CAD=60°. ∴△CAD是等邊三角形. |
要證△ ACD是正三角形,由正三角形的判定方法可以直接證三邊相等或先證是等腰三角形,再證有一個(gè)內(nèi)角為60°.因∠CAD所對(duì)的弧的度數(shù)為120°,則可知∠CAD=60°,所以只要證AC=AD即可.欲證AC=AD,則要證∠ACD=∠ADC.因這兩個(gè)角不是圓周角,要轉(zhuǎn)化為圓周角.考慮到B、E是、的中點(diǎn),故應(yīng)有等角.所以可以連接AB、AE構(gòu)造等角. |
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