Question

已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分線，將一個(gè)直角RPS的直角頂點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng)，點(diǎn)P不與點(diǎn)O重合．
（1）如圖，當(dāng)直角RPS的兩邊分別與射線OA、OB交于點(diǎn)C、D時(shí)，請(qǐng)判斷PC與PD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）如圖，在（1）的條件下，設(shè)CD與OP的交點(diǎn)為點(diǎn)G，且，求的值；
（3）若直角RPS的一邊與射線OB交于點(diǎn)D，另一邊與直線OA、直線OB分別交于點(diǎn)C、E，且以P、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△OCD相似，請(qǐng)畫出示意圖；當(dāng)OD=1時(shí)，直接寫出OP的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）PC與PD的數(shù)量關(guān)系是相等．
證明：過點(diǎn)P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為點(diǎn)H、N．
∵∠AOB=90°，易得∠HPN=90度．
∴∠1+∠CPN=90°，
而∠2+∠CPN=90°，
∴∠1=∠2．
∵OM是∠AOB的平分線，
∴PH=PN，
又∵∠PHC=∠PND=90°，
∴△PCH≌△PDN；
∴PC=PD．

（2）∵PC=PD，∠CPD=90°，
∴∠3=45°，
∵∠POD=45°，
∴∠3=∠POD．
又∵∠GPD=∠DPO，∴△POD∽△PDG．
∴．
∵，
∴．

（3）如圖1所示，若PR與射線OA相交，則OP=1；
如圖2所示，若PR與直線OA的交點(diǎn)C與點(diǎn)A在點(diǎn)O的兩側(cè)，則OP=-1．
分析：（1）PC與PD的數(shù)量關(guān)系是相等．如圖過點(diǎn)P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為點(diǎn)H、N，根據(jù)OM是∠AOB的平分線可以得到PH=PN，又∠AOB=90°，易得∠HPN=90°，由此得到∠1+∠CPN=90°，最后得到∠1=∠2，現(xiàn)在可以證明△PCH≌△PDN，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)就可以證明PC=PD；
（2）根據(jù)（1）可以得到∠3=45°，而∠POD=45°，所以△POD∽△PDG，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和已知條件就可以求出GD：OD的值；
（3）有兩種情況．
①如圖1所示，若PR與射線OA相交，根據(jù)以P、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△OCD相似可以得到∠CEO=∠CDO，從而CE=CD，而OC⊥DE，所以O(shè)E=OD，而∠EPD=90°，則OP=1；
②如圖2所示，若PR與直線OA的交點(diǎn)C與點(diǎn)A在點(diǎn)O的兩側(cè)，過P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為H，N，∵∠PDE＞∠EDC，可以證明△PDE∽△ODC，由此得到∠PDE=∠ODC．
∵∠OEC＞∠PED，∴∠PDE=∠HCP；而PH=PN，
∴Rt△PHC≌Rt△PND，
∴HC=ND，PC=PD，∴∠PDC=∠PCD=45°，
∴∠PDO=22.5°，
根據(jù)外角的性質(zhì)可得：∠PED=∠PDO+∠PCD=67.5°，即∠POE+∠OPE=67.5°，
又∠POE=45°，∴∠QPE=22.5°，
∴∠PDO=∠OPE，
∵以P、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△OCD相似，
∴∠PDO=∠OCE，
∴∠OPE=∠OCE，
∴OP=OC．
設(shè)OP=x，則OH=ON=x，HC=DN=OD-ON=1-x；
而HC=HO+OC=x+x，即1-x=x+x，
從而可得OP=-1．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合性比較強(qiáng)，把直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)都結(jié)合起來，利用它們探究圖形變換的規(guī)律．