Question

（2009•荊門(mén)）一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)A（2，0），B（0，4）．
（1）求該函數(shù)的解析式；
（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)OA、AB的中點(diǎn)分別為C、D，P為OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PC+PD的最小值，并求取得最小值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入y=kx+b并計(jì)算得k=-2，b=4．求出解析式為：y=-2x+4；
（2）設(shè)點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C′，連接C′D交OB于P，則PC=PC′，PC+PD=PC′+PD=C′D，即PC+PD的最小值是C′D．連接CD，在Rt△DCC′中，由勾股定理求得C′D的值，由OP是△C′CD的中位線(xiàn)而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入y=kx+b得：
0=2k+b，4=b，
∴k=-2，b=4，
∴解析式為：y=-2x+4；

（2）設(shè)點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C′，連接C′D交OB于P′，連接P′C，則PC=PC′，
∴PC′+PD=PC′+PD=C′D，即PC+PD的最小值是C′D．
連接CD，在Rt△DCC′中，C′D==2，即PC′+PD的最小值為2，
∵OA、AB的中點(diǎn)分別為C、D，
∴CD是△OBA的中位線(xiàn)，
∴OP∥CD，CD=OB=2，
∵C′O=OC，
∴OP是△C′CD的中位線(xiàn)，
∴OP=CD=1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，及兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短的定理，本題難度適中．