Question

（2012•湖里區(qū)一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB、BC的長為關于x的一元二次方程x2-4

10

x+

1

4

m²-m+41=0的兩根．
（1）求AC的長；
（2）若四邊形ABCD的面積為36，求△ACD的周長．

Answer 1

分析：（1）由判別式及非負數的性質可求m的值，再利用勾股定理即可求出AC的長；
（2）因為四邊形ABCD的面積=三角形ABCD的面積+三角形ADC的面積，由（1）可以求出三角形ABC的面積，所以三角形ADC的面積可以求出，進而得到AD和CD的數量關系，再利用勾股定理即可求出AD+BC的值，所以三角形ACD的周長可求出．

解答：解：（1）∵AB、BC的長為關于x的一元二次方程x2-4

10

x+

1

4

m²-m+41=0的兩根．
∴△=（-4

10

）²-4×（

1

4

m²-m+41）≥0，
即-（m-2）²≥0，
∴m-2=0，
∴m=2，
∴原方程為x2-4

10

x+40=0．
解方程得：x=2

10

，
∴AB=BC=2

10

，
∵∠B=90°，
∴在Rt△ABC中，AC=

AB2+BC2

=4

5

；

（2）∵四邊形ABCD的面積=△ABC的面積+△ADC的面積，S_△ABC=

1

2

AB•BC=20，
∴S_△ADC=36-20=16，
∴

1

2

AD•CD=16，
∴AD•CD=32，
∵∠D=90°，
∴AD²+CD²=AC²=80，
∴AD+CD=12，
∴△ACD的周長=AD+CD+AC=12+4

5

．

點評：本題考查了一元二次方程根的判別式和非負數的性質、勾股定理的運用和三角形的面積公式以及求三角形的周長，屬于基礎性題目．