Question

（2013•龍巖）如圖①，在矩形紙片ABCD中，AB=

3

+1，AD=

3

．
（1）如圖②，將矩形紙片向上方翻折，使點(diǎn)D恰好落在AB邊上的D′處，壓平折痕交CD于點(diǎn)E，則折痕AE的長為

6

；
（2）如圖③，再將四邊形BCED′沿D′E向左翻折，壓平后得四邊形B′C′ED′，B′C′交AE于點(diǎn)F，則四邊形B′FED′的面積為

3

-

1

2

；
（3）如圖④，將圖②中的△AED′繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，得△A′ED″，使得EA′恰好經(jīng)過頂點(diǎn)B，求弧D′D″的長．（結(jié)果保留π）

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)圖形反折變換的性質(zhì)得出AD′，D′E的長，再根據(jù)勾股定理求出AE的長即可；
（2）由（1）知，AD′=

3

，故可得出BD′的長，根據(jù)圖形反折變換的性質(zhì)可得出B′D′的長，再由等腰直角三角形的性質(zhì)得出B′F的長，根據(jù)梯形的面積公式即可得出結(jié)論；
（3）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠BEC的度數(shù)，由翻折變換的性質(zhì)可得出∠DEA的度數(shù)，故可得出∠AEA′=75°=∠D′ED″，由弧長公式即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵△ADE反折后與△AD′E重合，
∴AD′=AD=D′E=DE=

3

，
∴AE=

AD′2+D′E2

=

( 3 )3+( 3 )2

=

6

；

（2）∵由（1）知AD′=

3

，
∴BD′=1，
∵將四邊形BCED′沿D′E向左翻折，壓平后得四邊形B′C′ED′，
∴B′D′=BD′=1，
∵由（1）知AD′=AD=D′E=DE=

3

，
∴四邊形ADED′是正方形，
∴B′F=AB′=

3

-1，
∴S_{梯形B′FED′}=

1

2

（B′F+D′E）•B′D′=

1

2

（

3

-1+

3

）×1=

3

-

1

2

；
故答案為：（1）

6

；（2）

3

-

1

2

；

（3）∵∠C=90°，BC=

3

，EC=1，
∴tan∠BEC=

BC

CE

=

3

，
∴∠BEC=60°，
由翻折可知：∠DEA=45°，
∴∠AEA′=75°=∠D′ED″，
∴

D′D″

=

75•π• 3

180

=

5 3 π

12

．

點(diǎn)評：本題考查的是圖形的翻折變換，熟知圖形翻折不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．