(2013•龍巖)如圖①,在矩形紙片ABCD中,AB=
3
+1,AD=
3

(1)如圖②,將矩形紙片向上方翻折,使點D恰好落在AB邊上的D′處,壓平折痕交CD于點E,則折痕AE的長為
6
6
;
(2)如圖③,再將四邊形BCED′沿D′E向左翻折,壓平后得四邊形B′C′ED′,B′C′交AE于點F,則四邊形B′FED′的面積為
3
-
1
2
3
-
1
2
;
(3)如圖④,將圖②中的△AED′繞點E順時針旋轉(zhuǎn)α角,得△A′ED″,使得EA′恰好經(jīng)過頂點B,求弧D′D″的長.(結(jié)果保留π)
分析:(1)先根據(jù)圖形反折變換的性質(zhì)得出AD′,D′E的長,再根據(jù)勾股定理求出AE的長即可;
(2)由(1)知,AD′=
3
,故可得出BD′的長,根據(jù)圖形反折變換的性質(zhì)可得出B′D′的長,再由等腰直角三角形的性質(zhì)得出B′F的長,根據(jù)梯形的面積公式即可得出結(jié)論;
(3)先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠BEC的度數(shù),由翻折變換的性質(zhì)可得出∠DEA的度數(shù),故可得出∠AEA′=75°=∠D′ED″,由弧長公式即可得出結(jié)論.
解答:解:(1)∵△ADE反折后與△AD′E重合,
∴AD′=AD=D′E=DE=
3

∴AE=
AD2+D′E2
=
(
3
)3+(
3
)2
=
6
;

(2)∵由(1)知AD′=
3
,
∴BD′=1,
∵將四邊形BCED′沿D′E向左翻折,壓平后得四邊形B′C′ED′,
∴B′D′=BD′=1,
∵由(1)知AD′=AD=D′E=DE=
3
,
∴四邊形ADED′是正方形,
∴B′F=AB′=
3
-1,
∴S梯形B′FED′=
1
2
(B′F+D′E)•B′D′=
1
2
3
-1+
3
)×1=
3
-
1
2

故答案為:(1)
6
;(2)
3
-
1
2


(3)∵∠C=90°,BC=
3
,EC=1,
∴tan∠BEC=
BC
CE
=
3
,
∴∠BEC=60°,
由翻折可知:∠DEA=45°,
∴∠AEA′=75°=∠D′ED″,
D′D″
=
75•π•
3
180
=
5
3
π
12
點評:本題考查的是圖形的翻折變換,熟知圖形翻折不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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70°
70°

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(2)記△DMN的面積為S,求S關(guān)于t的解析式,并求S的最大值;
(3)當(dāng)t=30秒時,在線段OD的垂直平分線上是否存在點P,使得∠DPO=∠DON?若存在,這樣的點P有幾個?并求出點P到線段OD的距離;若不存在,請說明理由.

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