Question

（2013•福州）如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，P是BC邊上一點，△PAD的面積為

1

2

，設AB=x，AD=y
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若∠APD=45°，當y=1時，求PB•PC的值；
（3）若∠APD=90°，求y的最小值．

Answer 1

分析：（1）如圖1，過A作AE垂直于BC，在直角三角形ABE中，由∠B=45°，AB=x，利用銳角三角函數(shù)定義表示出AE，三角形PAD的面積以AD為底，AE為高，利用三角形面積公式表示出，根據(jù)已知的面積即可列出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)∠APC=∠APD+∠CPD，以及∠APC為三角形ABP的外角，利用外角性質(zhì)得到關(guān)系式，等量代換得到∠BAP=∠CPD，再由四邊形ABCD為等腰梯形，得到一對底角相等及AB=CD，可得出三角形ABP與三角形PDC相似，由相似得比例，將CD換為AB，由y的值求出x的值，即為AB的值，即可求出PB•PC的值；
（3）取AD的中點F，過P作PH垂直于AD，由直角三角形PF大于等于PH，當PF=PH時，PF最小，此時F與H重合，由三角形APD為直角三角形，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到PF等于AD的一半，表示出PF即為PH，三角形APD面積以AD為底，PH為高，利用三角形面積公式表示出三角形APD面積，由已知的面積求出y的值，即為最小值．

解答：解：（1）如圖1，過A作AE⊥BC于點E，
在Rt△ABE中，∠B=45°，AB=x，
∴AE=AB•sinB=

2

2

x，
∵S_△APD=

1

2

AD•AE=

1

2

，
∴

1

2

•y•

2

2

x=

1

2

，
則y=

2

x

；

（2）∵∠APC=∠APD+∠CPD=∠B+∠BAP，∠APD=∠B=45°，
∴∠BAP=∠CPD，
∵四邊形ABCD為等腰梯形，
∴∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD，
∴

AB

PC

=

PB

DC

，
∴PB•PC=AB•DC=AB²，
當y=1時，x=

2

，即AB=

2

，
則PB•PC=（

2

）²=2；

（3）如圖2，取AD的中點F，連接PF，
過P作PH⊥AD，可得PF≥PH，
當PF=PH時，PF有最小值，
∵∠APD=90°，
∴PF=

1

2

AD=

1

2

y，
∴PH=

1

2

y，
∵S_△APD=

1

2

•AD•PH=

1

2

，
∴

1

2

•y•

1

2

y=

1

2

，即y²=2，
∵y＞0，∴y=

2

，
則y的最小值為

2

．

點評：此題考查了相似形綜合題，涉及的知識有：等腰梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，以及三角形的面積求法，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．