Question

如圖，C為線段AB上一點(diǎn)，以BC為直徑作⊙O，再以AO為直徑作⊙M交⊙O于D、B作AB的垂線交AD的延長(zhǎng)線于F，連接CD．若AC=2，且AC與AD的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x²-2(1+

5

)x+k=0的兩個(gè)根．
①求證：AD是⊙O的切線；
②求線段DF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OD，證OD⊥AD即可；已知AO是⊙M的直徑，那么根據(jù)圓周角定理即可判定OD⊥AD，由此得證．
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可求得AD的長(zhǎng)，進(jìn)而可根據(jù)切割線定理求得AB的值；設(shè)出DF、BF的長(zhǎng)，然后在Rt△ABF中，由勾股定理求出DF的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：連接OD；
∵OA是⊙M的直徑，
∴∠ADO=90°；
即OD⊥AD，而OD是⊙O的半徑，
故AD是⊙O的切線．

（2）解：由題意知：AC+AD=2(1+

5

)；
已知AC=2，則AD=2

5

；
由切割線定理知：AD²=AC•AB，即AB=AD²÷AC=10；
由于FD、FB都是⊙O的切線，故FD=FB；
設(shè)FD=FB=x，則AF=2

5

+x；
由勾股定理得：AB²+BF²=AF²，即：
10²+x²=（2

5

+x）²，解得x=4

5

；
即線段DF的長(zhǎng)為4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的判定、切割線定理、切線長(zhǎng)定理、勾股定理以及韋達(dá)定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用，難度適中．