Question

如圖，已知四邊形ABCD、AEFG均為正方形，∠BAG=α (0°<α<180°)．

(1)求證： BE=DG，且 BE⊥DG；

(2)設(shè)正方形ABCD、AEFG的邊長(zhǎng)分別是3和2，線段BD、DE、EG、GB所圍成封閉圖形的面積為S．當(dāng)α變化時(shí)，指出S的最大值及相應(yīng)的α值．(直接寫(xiě)出結(jié)果，不必說(shuō)明理由)

Answer 1

 (1) 證法一：∵四邊形ABCD、AEFG均為正方形，

∴ ∠DAB=∠GAE=90°，AD=AB，AG=AE．

∴ 將AD、AG分別繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°，它們恰好分別與AB、AE重合，即點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)G與點(diǎn)E重合，

∴ DG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與BE重合，

∴ BE=DG，且BE⊥DG．

證法二：∵四邊形ABCD、AEFG均為正方形，

∴ ∠DAB=∠GAE=90°，AD=AB，AG=AE．

∴ ∠DAB+α=∠GAE+α，∴ ∠DAG=∠BAE．

① 當(dāng)α≠90°時(shí)，由前知 △DAG≌△BAE (S.A.S.)，∴ BE=DG，

且∠ADG=∠ABE．

設(shè)直線DG分別與直線BA、BE交于點(diǎn)M、N，又∵∠AMD=∠BMN，∠ADG+∠AMD=90°，

∴∠ABE+∠BMN=90°，

∴∠BND=90°，∴BE⊥DG．

② 當(dāng)α=90°時(shí)，點(diǎn)E、點(diǎn)G分別在BA、DA的延長(zhǎng)線上，顯然BE=DG，且BE⊥DG．

(說(shuō)明：未考慮α=90°的情形不扣分)

(2) S的最大值為，