(2008•包頭)如圖,△ABC中,AD平分∠BAC交△ABC的外接圓⊙O于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)H作EF∥BC交AC、AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E、F.
(1)求證:EF是⊙O的切線(xiàn);
(2)若AH=8,DH=2,求CH的長(zhǎng);
(3)若∠CAB=60°,在(2)的條件下,求的長(zhǎng).

【答案】分析:(1)連接OH,證OH⊥EF即可.
(2)可通過(guò)相似三角形來(lái)求CH的長(zhǎng),證△CDH∽△ACH,于是便可得出關(guān)于CH,AH,DH的比例關(guān)系,即可求出HC的長(zhǎng).
(3)連接OC,OB,由已知可得到△COH是等邊三角形,(2)已經(jīng)求出了CH的長(zhǎng),也就有了半徑的長(zhǎng),然后根據(jù)弧長(zhǎng)的計(jì)算公式即可得出弧的長(zhǎng).
解答:(1)證明:連接OH,
∵AD平分∠EAF,
∴∠EAH=∠FAH.

又∵OH是⊙O的半徑,
∴OH⊥BC.
又∵EF∥BC,
∴EF⊥OH.
∴EF是⊙O的切線(xiàn).

(2)解:∵∠HCB=∠HAB,
∵∠HAB=∠HAC.
∴∠HCB=∠HAC.
又∵∠CHA是公共角,
∴△CDH∽△ACH.

∴CH2=8×2.
∴CH=4.

(3)解:連接OB,OC,
∵∠EAF=60°,
∴∠COB=120°,∠COH=60°.
∵OC=OH,∠COH=60°,
∴△COH是等邊三角形.
∴OC=OH=CH=4.
∴弧BHC的長(zhǎng)=120°×π×4÷180°=
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了切線(xiàn)的判定,相似三角形的判定和性質(zhì),圓周角定理等知識(shí)點(diǎn),根據(jù)圓周角定理得出相應(yīng)的角相等或角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.
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B.是中心對(duì)稱(chēng)圖形
C.既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形
D.不是對(duì)稱(chēng)圖形

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