Question

如圖，△ADE和△ABC中∠EAD=∠AED=∠BAC=∠BCA=45°，又有∠BAD=∠BCF．
（1）求∠ECF+DAC+∠ECA的度數(shù)；
（2）判斷ED與FC的位置關系，并對你的結論加以證明．

Answer 1

解：（1）∵∠ECF=∠ECB+∠BCF，
∴∠ECF+∠DAC+∠ECA
=（∠ECB+∠BCF）+∠DAC+∠ECA （∠BCF=∠BAD）
=（∠ECB+∠ECA）+（∠DAC+∠BAD）
=∠BCA+∠BAC
=45°+45°
=90°
即∠ECF+DAC+∠ECA=90°；

（2）ED和FC平行，理由如下：
∵∠EAD=∠AED=45°，
∴∠EDA=90°，
∴在C，E，D，A四點組成的凹四邊形里，
∠ECA+∠CED+∠CAD=∠EDA=90°
又∵（1）的結論是∠ECF+DAC+∠ECA=90°，
∴∠CED=∠ECF，
∴DE∥CF（內錯角相等，兩直線平行）．
分析：（1）由題意易得∠ECF+DAC+∠ECA=45°+∠BCF+45°-∠BCF=90°；
（2）由凹四邊形ADEC得內角和是360°以及已知易得∠ADE=90°，可得∠ECA+∠CED+∠CAD=∠EDA=90°，又（1）的結論是∠ECF+DAC+∠ECA=90°，∴∠CED=∠ECF，因此由內錯角相等即知DE∥CF．
點評：此題主要考查了角之間的和差關系、四邊形的內角和、平行線的判定等知識點，有點難度，特別是凹四邊形的應用不太常見．