Question

已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4,﹣）,且與y軸交于點(diǎn)C（0,2）,與x軸交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊）．

（1）求拋物線的解析式及A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）在（1）中拋物線的對(duì)稱軸l上是否存在一點(diǎn)P,使AP+CP的值最��？若存在,求AP+CP的最小值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由；

 

Answer 1

【答案】

（1）拋物線的解析式為：y=x2﹣x+2 ,A（2,0）,B（6,0）；

（2）存在一點(diǎn)P,使AP+CP的值最小,AP+CP的最小值為.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣4）2﹣,再根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)（0,2）求出拋物線解析式,進(jìn)而求出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）線段BC的長(zhǎng)即為AP+CP的最小值.

試題解析：（1）由題意,設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣4）2﹣（a≠0）

∵拋物線經(jīng)過(guò)（0,2）

∴a（0﹣4）2﹣ =2

解得：a=

∴y=（x﹣4）2﹣

即拋物線的解析式為：y=x2﹣x+2

當(dāng)y=0時(shí),x2﹣x+2=0

解得：x=2或x=6

∴A（2,0）,B（6,0）；?

（2）存在,

由（1）知：拋物線的對(duì)稱軸l為x=4,

因?yàn)?/span>A、B兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱,連接CB交l于點(diǎn)P,則AP=BP,

所以AP+CP=BC的值最小

∵B（6,0）,C（0,2）

∴OB=6,OC=2

∴BC=,

∴AP+CP=BC=

∴AP+CP的最小值為.

考點(diǎn)：二次函數(shù)相關(guān)．