Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象頂點為D，與y軸交于點C，與x軸交于點A、B，點A在原點的左側(cè)，點B的坐標(biāo)為（3，0），OB=OC，tan∠ACO=．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）若平行于x軸的直線與該拋物線交于點M、N，且以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓的半徑長度；
（3）如圖2，若點G（2，y）是該拋物線上一點，點P是直線AG下方的拋物線上的一動點，當(dāng)點P運動到什么位置時，△AGP的面積最大？求此時點P的坐標(biāo)和△AGP的最大面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由點B的坐標(biāo)為（3，0），OB=OC，即可求得點C的坐標(biāo)，又由tan∠ACO=，即可求得點A的坐標(biāo)，然后設(shè)兩點式y(tǒng)=a（x+1）（x-3），將點C代入，即可求得這個二次函數(shù)的解析式；
（2）分別從當(dāng)直線MN在x軸上方時與當(dāng)直線MN在x軸下方時去分析，然后由所求圓的圓心在拋物線的對稱軸x=1上，即可求得點的坐標(biāo)，又由點在二次函數(shù)的圖象上，即可求得該圓的半徑長度；
（3）首先過點P作y軸的平行線與AG交于點Q，然后求得點G的坐與直線AG得方程，然后由S_△AGP=S_△APQ+S_△GPQ=PQ•（G_{橫坐標(biāo)}-A_{橫坐標(biāo)}），利用二次函數(shù)的最值問題，即可求得此時點P的坐標(biāo)和△AGP的最大面積．
解答：解：（1）由OC=OB=3，可知點C坐標(biāo)是（0，-3），
連接AC，在Rt△AOC中，
∵tan∠ACO=，
∴OA=OC×tan∠ACO=3×=1，
故A（-1，0），…（3分）
設(shè)這個二次函數(shù)的表達式為：y=a（x+1）（x-3），
將C（0，-3）代入得：-3=a（0+1）（0-3），
解得：a=1，
∴這個二次函數(shù)的表達式為：y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3．…（5分）

（2）①當(dāng)直線MN在x軸上方時，設(shè)所求圓的半徑為R（R＞0），設(shè)M在N的左側(cè)，
∵所求圓的圓心在拋物線的對稱軸x=1上，
∴N（R+1，R）代入y=x²-2x-3中得：R=（R+1）²-2（R+1）-3，
解得R=．…（10分）
②當(dāng)直線MN在x軸下方時，設(shè)所求圓的半徑為r（r＞0），由①可知N（r+1，-r），代入拋物線方程y=x²-2x-3，可得-r=（r+1）²-2（r+1）-3，
解得：r=．…（13分）

（3）過點P作y軸的平行線與AG交于點Q，
把G（2，y）代入拋物線的解析式y(tǒng)=x²-2x-3，得G（2，-3）．…（15分）
由A（-1，0）可得直線AG的方程為：y=-x-1，…（16分）
設(shè)P（x，x²-2x-3），則Q（x，-x-1），
∴PQ=-x²+x+2，
S_△AGP=S_△APQ+S_△GPQ=PQ•（G_{橫坐標(biāo)}-A_{橫坐標(biāo)}）=（-x²+x+2）×3=-（x-）²+，…（18分）
當(dāng)x=時，△APG的面積最大，…（19分）
此時P點的坐標(biāo)為（，-），△APG的面積最大值為．…（20分）
點評：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，點與函數(shù)的關(guān)系，三角函數(shù)的性質(zhì)以及圓的切線的性質(zhì)等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想，方程思想與分類討論思想的應(yīng)用．