Question

5、閱讀理解：
若p、q、m為整數，且三次方程x³+px²+qx+m=0有整數解c，則將c代入方程得：c³+pc²+qc+m=0，移項得：m=-c³-pc²-qc，即有：m=c×（-c²-pc-q），由于-c²-pc-q與c及m都是整數，所以c是m的因數．上述過程說明：整數系數方程x³+px²+qx+m=0的整數解只可能是m的因數．例如：方程x³+4x²+3x-2=0中-2的因數為±1和±2，將它們分別代入方程x³+4x²+3x-2=0進行驗證得：x=-2是該方程的整數解，-1，1，2不是方程的整數解．
解決問題：
（1）根據上面的學習，請你確定方程x³+x²+5x+7=0的整數解只可能是哪幾個整數？
（2）方程x³-2x²-4x+3=0是否有整數解？若有，請求出其整數解；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）認真學習題目給出的材料，掌握“整數系數方程x³+px²+qx+m=0的整數解只可能是m的因數”，再作答．
（2）根據分析（1）得出3的因數后再代入檢驗可得出答案．

解答：解：（1）由閱讀理解可知：該方程如果有整數解，它只可能是7的因數，而7的因數只有：1，-1，7，-7這四個數．
（2）該方程有整數解．
方程的整數解只可能是3的因數，即1，-1，3，-3，將它們分別代入方程x³-2x²-4x+3=0
進行驗證得：x=3是該方程的整數解．

點評：本題考查同學們的閱讀能力以及自主學習、自我探究的能力，該類型的題是近幾年的熱點考題．
認真學習題目給出的材料，掌握“整數系數方程x³+px²+qx+m=0的整數解只可能是m的因數”是解答問題的基礎．