Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm；點P從點A開始沿AD邊向點D以1厘米/秒的速度移動；與此同時，點Q從點C開始沿CB邊向點B以3厘米/秒的速度移動；當(dāng)其中一點到達(dá)終點時，另一點也隨之停止移動，設(shè)移動的時間為t秒．
（1）當(dāng)t為何值時，四邊形PQCD為平行四邊形？
（2）設(shè)四邊形PQCD的面積為y，求y與t的函數(shù)關(guān)系式．探索四邊形PQCD的面積是否存在最大值？若存在，最大值是多少？若不存在，請說明理由？

Answer 1

解：（1）AP=t，DP=24-t，CQ=3t，0≤t≤，
∵AD∥BC，
∴只要當(dāng)DP=CQ時，四邊形PQCD為平行四邊形，
∴3t=24-t，解得t=6秒．
所以當(dāng)t為6秒時，四邊形PQCD為平行四邊形；

（2）存在．
y_{四邊形PQCD的面積}=（DP+CQ）•AB=（24-t+3t）×8=8t+96，
∵0≤t≤，y隨t的增大而增大，
∴當(dāng)t=時，y有最大值=96+8×=（cm²）．
所以四邊形PQCD的面積的最大值為cm²．
分析：（1）由題意得AP=t，DP=24-t，CQ=3t，0≤t≤，因為AD∥BC，則根據(jù)平行四邊形的判定得只要當(dāng)DP=CQ時，四邊形PQCD為平行四邊形，即有3t=24-t，解t即可；
（2）四邊形PQCD的面積等于△PQD與△DQC的面積和，而這兩個三角形的高都等于AB，所以y_{四邊形PQCD的面積}=（DP+CQ）•AB=（24-t+3t）×8=8t+96，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)討論當(dāng)0≤t≤，y的最大值即可．
點評：本題考查了平行四邊形的判定：一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形．也考查了直角梯形的性質(zhì)以及一次函數(shù)的性質(zhì)．