Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC與y軸相交于點(diǎn)M，且M是BC的中點(diǎn)，A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（-1，0），B（-l，2），D（3，0）．連接DM，并把線(xiàn)段DM沿DA方向平移到ON．若拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)D、M、N．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式．
（2）拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使得PA=PC？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）設(shè)拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E，點(diǎn)Q是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)有|QE-QC|最大？并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)B點(diǎn)坐標(biāo)可求M點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平移關(guān)系可知OD=MN=3，可求N點(diǎn)坐標(biāo)，將D（3，0），M（0，2），N（-3，2）代入拋物線(xiàn)解析式，列方程組求解；
（2）連接AC交y軸與G，根據(jù)M為BC的中點(diǎn)求C的坐標(biāo)，根據(jù)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，判斷BG為AC的垂直平分線(xiàn)，求直線(xiàn)BG的解析式，再與拋物線(xiàn)聯(lián)立，解方程組求滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知QE=QD，故當(dāng)Q、C、D三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，|QE-QC|最大，延長(zhǎng)DC與x=-

3

2

相交于點(diǎn)Q，先求直線(xiàn)CD的解析式，將x=-

3

2

代入，可求Q點(diǎn)坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸，垂足為F，此時(shí)，|QE-QC|=CD，在Rt△CDF中求CD即可．

解答：解：（1）∵BC∥AD，B（-1，2），M是BC與y軸的交點(diǎn)，∴M（0，2），
∵DM∥ON，D（3，0），
∴N（-3，2），
則

9a+3b+c=0 c=2 9a-3b+c=2

，
解得

a=- 1 9 b=- 1 3 c=2

，
∴y=-

1

9

x²-

1

3

x+2；

（2）連接AC交y軸于G，
∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，
∴AO=BM=MC，AB=BC=2，
∴AG=GC，即G（0，1），
∵∠ABC=90°，
∴BG⊥AC，即BG是AC的垂直平分線(xiàn)，要使PA=PC，即點(diǎn)P在AC的垂直平分線(xiàn)上，故P在直線(xiàn)BG上，
∴點(diǎn)P為直線(xiàn)BG與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，
設(shè)直線(xiàn)BG的解析式為y=kx+b，
則

-k+b=2 b=1

，
解得

k=-1 b=1

，
∴y=-x+1，
∴

y=-x+1 y=- 1 9 x2- 1 3 x+2

，
解得

x1=3+3 2 y1=-2-3 2

，

x2=3-3 2 y2=-2+3 2

，
∴點(diǎn)P（3+3

2

，-2-3

2

）或P（3-3

2

，-2+3

2

），

（3）∵y=-

1

9

x²-

1

3

x+2=-

1

9

（x+

3

2

）²+2

1

4

，
∴對(duì)稱(chēng)軸x=-

3

2

，
令-

1

9

x²-

1

3

x+2=0，
解得x₁=3，x₂=-6，
∴E（-6，0），
故E、D關(guān)于直線(xiàn)x=-

3

2

對(duì)稱(chēng)，
∴QE=QD，
∴|QE-QC|=|QD-QC|，
要使|QE-QC|最大，則延長(zhǎng)DC與x=-

3

2

相交于點(diǎn)Q，即點(diǎn)Q為直線(xiàn)DC與直線(xiàn)x=-

3

2

的交點(diǎn)，
由于M為BC的中點(diǎn)，
∴C（1，2），
設(shè)直線(xiàn)CD的解析式為y=kx+b，
則

3k+b=0 k+b=2

，
解得

k=-1 b=3

，
∴y=-x+3，
當(dāng)x=-

3

2

時(shí)，y=

3

2

+3=

9

2

，
故當(dāng)Q在（-

3

2

，

9

2

）的位置時(shí)，|QE-QC|最大，
過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸，垂足為F，
則CD=

CF2+DF2

=

22+22

=2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷三角形的特殊性，根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性求滿(mǎn)足條件的點(diǎn)．