Question

如圖1，在直角坐標系中，O是坐標原點，點A在y軸正半軸上，二次函數(shù)y=ax²+x +c的圖象F交x軸于B、C兩點，交y軸于M點，其中B（-3，0），M（0，-1）。已知AM=BC。
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）證明：在拋物線F上存在點D，使A、B、C、D四點連接而成的四邊形恰好是平行四邊形，并請求出直線BD的解析式；
（3）在（2）的條件下，設直線l過D且分別交直線BA、BC于不同的P、Q兩點，AC、BD相交于N。
①若直線l⊥BD，如圖1所示，試求的值；
②若l為滿足條件的任意直線。如圖2所示，①中的結(jié)論還成立嗎？若成立，證明你的猜想；若不成立，請舉出反例。

Answer 1

解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+x +c的圖象經(jīng)過點B（-3，0），M（0，-1），
∴  ，解得。
∴二次函數(shù)的解析式為：。
（2）證明：在中，令y=0，得，解得x₁=－3，x₂=2。
∴C（2，0），∴BC=5。
令x=0，得y=-1，∴M（0，－1），OM=1。
又AM=BC，∴OA=AM－OM=4�！郃（0，4）。
設AD∥x軸，交拋物線于點D，如圖1所示，
則，解得x₁=5，x₂=－6（位于第二象限，舍去）。
∴D點坐標為（5，4）�！郃D=BC=5。
又∵AD∥BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，即在拋物線F上存在點D，使A、B、C、D四點連接而成的四邊形恰好是平行四邊形。
設直線BD解析式為：y=kx+b，∵B（－3，0），D（5，4），
∴ ，解得：。
∴直線BD解析式為：。
（3）在Rt△AOB中，，
又AD=BC=5，∴?ABCD是菱形。
①若直線l⊥BD，如圖1所示，
∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD�！郃C∥直線l�！�。
∵BA=BC=5，∴BP=BQ=10。
∴。
②若l為滿足條件的任意直線，如圖2所示，此時①中的結(jié)論依然成立，理由如下：
∵AD∥BC，CD∥AB，∴△PAD∽△DCQ�！�。
∴AP•CQ=AD•CD=5×5=25。
∴ 
。

解析