Question

頂角為36°的等腰三角形稱為黃金三角形，如圖，△ABC，△BCD，△DEC都是黃金三角形，己知AB=2cm，則DE=

（3-

5

）

cm．

Answer 1

分析：由頂角為36°的等腰三角形稱為黃金三角形，而△ABC，△BCD，△DEC都是黃金三角形，可得到∠ABC=∠C=72°，∠DBC=36°，∠EDC=36°，∠DEC=72°，∠BDC=72°，則DA=DB=BC，DE=DC，易得△BDC∽△ABC，得BD：AC=DC：BC，則AD：AC=DC：AD，于是得到點(diǎn)D為AC的黃金分割點(diǎn)，所以AD=

5 -1

2

AB，DC=AB-AD=

3- 5

2

AB，
把AB=2代入計(jì)算得到DC，而DE=DC．

解答：解：∵頂角為36°的等腰三角形稱為黃金三角形，
而△ABC，△BCD，△DEC都是黃金三角形，
∴∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
同理有∠DBC=36°，∠EDC=36°，∠DEC=72°，∠BDC=72°，
∴DA=DB=BC，DE=DC，
∴△BDC∽△ABC，
∴BD：AC=DC：BC，
∴AD：AC=DC：AD，
∴點(diǎn)D為AC的黃金分割點(diǎn)，
∴AD=

5 -1

2

AB，
∴DC=AB-AD=

3- 5

2

AB，
而AB=2，
∴DC=

3- 5

2

×2=3-

5

，
∴DE=（3-

5

）cm．
故答案為（3-

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了黃金分割：一個(gè)點(diǎn)把一條線段分成較長(zhǎng)線段與較短線段，且較長(zhǎng)線段與整個(gè)線段的比等于較短線段與較長(zhǎng)線段的比，那么就說這個(gè)點(diǎn)把這條線段黃金分割，這個(gè)點(diǎn)叫這條線段的黃金分割點(diǎn)；其中較長(zhǎng)線段是整個(gè)線段的

5 -1

2

倍．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．