Question

（2012•廣元）如圖，在矩形ABCD中，AO=3，tan∠ACB=

4

3

．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC為x軸，OA為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)D、E分別是線段AC、OC上的動(dòng)點(diǎn)，它們同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)D以每秒3個(gè)單位的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）
（1）求直線AC的解析式；
（2）用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在t為何值時(shí)，△ODE為直角三角形？
（4）在什么條件下，以Rt△ODE的三個(gè)頂點(diǎn)能確定一條對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線？并請(qǐng)選擇一種情況，求出所確定的拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）在Rt△AOC中，已知AO的長(zhǎng)以及∠ACB的正弦值，能求出OC的長(zhǎng)，即可確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法能求出直線AC的解析式．
（2）過D作AO、OC的垂線，通過構(gòu)建相似三角形來求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）用t表示出OD、DE、OE的長(zhǎng)，若△ODE為直角三角形，那么三邊符合勾股定理，據(jù)此列方程求出對(duì)應(yīng)的t的值．
（4）根據(jù)（3）的結(jié)論能得到t的值，△ODE中，當(dāng)OD⊥x軸或DE垂直x軸時(shí)，都不能確定“一條對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線”，余下的情況都是符合要求的，首先得D、E的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得CO=AB=BC•tan∠ACB=4，則A（0，3）、B（4，3）、C（4，0）；
設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+3，代入C點(diǎn)坐標(biāo)，得：
4k+3=0，k=-

3

4

∴直線AC：y=-

3

4

x+3．

（2）分別作DF⊥AO，DH⊥CO，垂足分別為F、H，則有△ADF∽△DCH∽△ACO
∴AD：DC：AC=AF：DH：AO=FD：HC：OC，
而AD=3t（其中0≤t≤

5

3

），OC=AB=4，AC=5，
∴FD=

4

5

AD=

12t

5

，AF=

3

5

AD=

9t

5

，DH=3-

9t

5

，HC=4-

12t

5

，
∴D（

12t

5

，3-

9t

5

）．

（3）CE=t，E（4-t，0），OE=OC-CE=4-t，HE=|CH-CE|=|（4-

12t

5

）-t|=|4-

17t

5

|
則OD²=DH²+OH²=（3-

9t

5

）²+（

12t

5

）²=9t²-

54

5

t+9，
DE²=DH²+HE²=（3-

9t

5

）2+（4-

17t

5

）²=

74

5

t²-38t+25，
當(dāng)△ODE為Rt△時(shí)，有OD²+DE²=OE²，或OD²+OE²=DE²，或DE²+OE²=OD²，
則（9t²-

54

5

t+9）+（

74

5

t²-38t+25）=（4-t）²  ①，
或（9t²-

54

5

t+9）+（4-t）²=

74

5

t²-38t+25      ②，
或（

74

5

t²-38t+25）+（4-t）²=9t²-

54

5

t+9      ③，
上述三個(gè)方程在0≤t≤

5

3

內(nèi)的所有實(shí)數(shù)解為：
t₁=

15

19

，t₂=1，t₃=0，t₄=

20

17

．

（4）當(dāng)DO⊥OE，及DE⊥OE時(shí)，即t₃=0和t₄=

20

17

時(shí)，以Rt△ODE的三個(gè)頂點(diǎn)不能確定對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線，其它兩種情況都可以各確定一條對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線．
當(dāng)t₂=1時(shí)，D（

12

5

，

6

5

），E（3，0），因?yàn)閽佄锞�過O（0，0），
所以設(shè)所求拋物線為y=ax²+bx，將點(diǎn)D、E坐標(biāo)代入，求得 a=-

5

6

，b=

5

2

，
∴所求拋物線為：y=-

5

6

x²+

5

2

x
（當(dāng)t₁=

15

19

時(shí)，所求拋物線為y=-

19

30

x²+

61

30

x）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理等重要知識(shí)；后面兩問的難度較大，注意分類進(jìn)行討論．