Question

已知△ABC．
（1）若∠BAC=40°，畫(huà)∠BAC和外角∠ACD的角平分線相交于O₁點(diǎn)（如圖①），求∠BO₁C的度數(shù)；
（2）在（1）的條件下，再畫(huà)∠O₁BC和∠O₁CD的角平分線相交于O₂點(diǎn)（如圖②），求∠BO₂C的度數(shù)；
（3）若∠BAC=n°，按上述規(guī)律繼續(xù)畫(huà)下去，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠BO₂₀₁₂C的度數(shù)．

Answer 1

分析：由∠O₁CD=∠O₁+∠O₁BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而O₁B、O₁C分別平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠O₁CD，∠ABC=2∠O₁BC，于是有∠A=2∠O₁，同理可得∠O₁=2∠O₂，即∠A=2²∠O₂，因此找出規(guī)律．

解答：解：∵O₁B、O₁C分別平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=2∠O₁CD，∠ABC=2∠O₁BC，
而∠O₁CD=∠O₁+∠O₁BC，∠ACD=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠0₁=40°，
∴∠O₁=20°，
同理可得∠O₁=2∠O₂，
即∠A=2²∠0₂=40°，
∴∠O₂=10°，
∴∠A=2ⁿ∠A_n，
∴∠A_n=n°×（

1

2

）ⁿ．
則∠BO₂₀₁₂C=(

1

2

)2012•n⁰．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．也考查了三角形的外角性質(zhì)以及角平分線性質(zhì)，難度適中．