Question

在正方形ABCD外取一點E，連接AE、BE、DE，過A作AE的垂線交ED于點P，若AE=AP=1，PB=

5

，下列結(jié)論：
①△APD≌△AEB；②點B到直線AE的距離為

2

；③S_{正方形ABCD}=4+

6

； 
其中正確的是（　�。�

A．①②③

B．只有①③

C．只有①

D．只有③

Answer 1

分析：首先利用已知條件根據(jù)邊角邊可以證明△APD≌△AEB，故選項①正確；由①可得∠BEP=90°，故BE不垂直于AE過點B作BM⊥AE延長線于M，由①得∠AEB=135°所以∠EMB=45°，所以△EMB是等腰Rt△，求出B到直線AE距離為BF，即可對于②作出判斷；根據(jù)三角形的面積公式得到S_△BPD=

1

2

PD×BE=

3

2

，所以S_△ABD=S_△APD+S_△APB+S_△BPD=2+

6

2

，由此即可對③判定．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠BAP+∠PAD=90°，
∵EA⊥AP，
∴∠EAB+∠BAP=90°，
∴∠PAD=∠EAB，
∵在△APD和△AEB中，

AP=AE ∠PAD=∠EAB AD=AB

，
∴△APD≌△AEB（SAS），故①正確；
∵△AEP為等腰直角三角形，
∴∠AEP=∠APE=45°，
∴∠APD=∠AEB=135°，
∴∠BEP=90°，
過B作BF⊥AE，交AE的延長線于F，則BF的長是點B到直線AE的距離，
在△AEP中，AE=AP=1，根據(jù)勾股定理得：PE=

2

，
在△BEP中，PB=

5

，PE=

2

，由勾股定理得：BE=

3

，
∵∠PAE=∠PEB=∠EFB=90°，AE=AP，
∴∠AEP=45°，
∴∠BEF=180°-45°-90°=45°，
∴∠EBF=45°，
∴EF=BF，
在△EFB中，由勾股定理得：EF=BF=

6

2

，
故②是錯誤的；
由△APD≌△AEB，
∴PD=BE=

3

，
∵S_△BPD=

1

2

PD×BE=

3

2

，
∴S_△ABD=S_△APD+S_△APB+S_△BPD=2+

6

2

，
∴S_{正方形ABCD}=2S_△ABD=4+

6

．故選項③正確，
則正確的序號有：①③．
故選B．

點評：此題分別考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、三角形的面積及勾股定理，綜合性比較強，解題時要求熟練掌握相關(guān)的基礎(chǔ)知識才能很好解決問題．