Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P是三角形右外一點(diǎn)，且∠APB=∠ABC．

（1）如圖1，若∠BAC=60°，點(diǎn)P恰巧在∠ABC的平分線上，PA=2，求PB的長(zhǎng)；

（2）如圖2，若∠BAC=60°，探究PA，PB，PC的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（3）如圖3，若∠BAC=120°，請(qǐng)直接寫出PA，PB，PC的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）BP=4；（2）PA+PC=PB；（3）PA+PC=PB．

【解析】

試題分析：（1）AB=AC，∠BAC=60°，證得△ABC是等邊三角形，∠APB=∠ABC，得到∠APB=60°，又點(diǎn)P恰巧在∠ABC的平分線上，得到∠ABP=30°，得到直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)解出結(jié)果．

（2）在BP上截取PD，使PD=PA，連結(jié)AD，得到△ADP是等邊三角形，再通過三角形全等證得結(jié)論．

（3）以A為圓心，以AP的長(zhǎng)為半徑畫弧交BP于D，連接AD，過點(diǎn)A作AF⊥BP交BP于F，得到等腰三角形，然后通過三角形全等證得結(jié)論．

試題解析：解：（1）∵AB=AC，∠BAC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，∠APB=∠ABC，

∴∠APB=60°，

又∵點(diǎn)P恰巧在∠ABC的平分線上，

∴∠ABP=30°，

∴∠PAB=90°，

∴BP=2AP，

∵AP=2，

∴BP=4；

（2）結(jié)論：PA+PC=PB．

證明：如圖1，在BP上截取PD，使PD=PA，連結(jié)AD，

∵∠APB=60°，

∴△ADP是等邊三角形，

∴∠DAP=60°，

∴∠1=∠2，PA=PD，

又AB=AC，

∴△ABD≌△ACP，

∴PC=BD，

∴PA+PC=PB；

（3）結(jié)論：PA+PC=PB．

證明：如圖2，以A為圓心，以AP的長(zhǎng)為半徑畫弧交BP于D，連接AD，過點(diǎn)A作AF⊥BP交BP于F，

∴AP=AD，

∵∠BAC=120°，

∴∠ABC=30°，

∴∠APB=30°，

∴∠DAP=120°，

∴∠1=∠2，

又AB=AC，

∴△ABD≌△ACP，

∴BD=PC，

∵AF⊥PD，

∴PF=AP，

∴PD=AP，

∴PA+PC=PB．