【題目】如圖,拋物線yax2+x+cx軸于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C.直線y=﹣+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,C

1)求拋物線的解析式;

2)點(diǎn)P在拋物線在第一象限內(nèi)的圖象上,過(guò)點(diǎn)Px軸的垂線,垂足為D,交直線AC于點(diǎn)E,連接PC,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m

①當(dāng)PCE是等腰三角形時(shí),求m的值;

②過(guò)點(diǎn)C作直線PD的垂線,垂足為F.點(diǎn)F關(guān)于直線PC的對(duì)稱點(diǎn)為F′,當(dāng)點(diǎn)F′落在坐標(biāo)軸上時(shí),請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】1y=﹣x2+x+2;(2)①當(dāng)△PCE是等腰三角形時(shí),m的值為m4,2;②點(diǎn)P的坐標(biāo)為(13)(,)

【解析】

1)先由直線y=﹣x+2求出AC的坐標(biāo),再將其代入拋物線yax2+x+c中,即可求出拋物線解析式;

2用含m的代數(shù)表示出P,E的坐標(biāo),再求出含m的代數(shù)式的PE的長(zhǎng)度,將等腰三角形分三種情況進(jìn)行討論,即可分別求出m的值;

當(dāng)點(diǎn)F'落在坐標(biāo)軸上時(shí),存在兩種情形,一種是點(diǎn)F'落在y軸上,一種是點(diǎn)F′落在x軸上,分情況即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

解:(1直線y=﹣x+2經(jīng)過(guò)A,C

∴A4,0),C02),

拋物線yax2+x+cx軸于點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C

,

∴a=﹣c2,

拋物線的解析式為y=﹣x2+x+2

2點(diǎn)P在拋物線在第一象限內(nèi)的圖象上,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m

∴0m4,Pm,﹣m2+m+2),

①∵PD⊥x軸,交直線y=﹣x+2于點(diǎn)E,

∴Em,﹣m+2),

∴PE=(﹣m2+m+2)﹣(﹣m+2)=﹣m2+2m,

∵PD∥CO

,

∴CEm

當(dāng)PECE時(shí),﹣m2+2mm

解得,m14m20(舍去);

當(dāng)PCCE時(shí),PD+ED2CO

即(﹣m2+m+2+(﹣m+2)=2×2,

m2+m0,

解得,m12,m20(舍去);

當(dāng)PCPE時(shí),取CE中點(diǎn)G,則Gm,﹣m+2),PG⊥AC

∴∠GEP∠OCA,

∴Rt△PGE∽R(shí)t△AOC,

2

(﹣m2+m+2)﹣(﹣m+2)=2mm),

m2+m0,

解得,m1,m20(舍去),

綜上,當(dāng)△PCE是等腰三角形時(shí),m的值為m4,2,;

②P1,3),P,),理由如下,

當(dāng)點(diǎn)F'落在坐標(biāo)軸上時(shí),存在兩種情形:

如圖21,當(dāng)點(diǎn)F'落在y軸上時(shí),點(diǎn)Pm,﹣m2+m+2)在直線yx

+2上,

m2+m+2m+2,

解得,m11m20(舍去),

∴P13);

如圖22,當(dāng)點(diǎn)F'落在x軸上時(shí),△COF'∽△F'DP,

,

,

∵PF2﹣(﹣m2+m+2)=mm3),

∴F'Dm3,

∴OF'ODFDm﹣(m3)=3,

△CBF'中,CF',

∴m,P,),

綜上所述,當(dāng)點(diǎn)F′落在坐標(biāo)軸上時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,3)或(,).

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1)當(dāng)時(shí),

①若,求的度數(shù);

②求證

2)當(dāng),時(shí),

①是含存在點(diǎn)P,使得是等腰三角形,若存在求出所有符合條件的CP的長(zhǎng);

②以D為端點(diǎn)過(guò)P作射線DH,作點(diǎn)O關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)Q恰好落在內(nèi),則CP的取值范圍為________.(直接寫出結(jié)果)

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1)列表

x

1

0

2

3

y

2

3

a

3

1

0

b

直接寫出函數(shù)自變量x的取值范圍,及a   b   ;

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