Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+x+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．直線y＝﹣+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P在拋物線在第一象限內(nèi)的圖象上，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D，交直線AC于點(diǎn)E，連接PC，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

①當(dāng)△PCE是等腰三角形時(shí)，求m的值；

②過(guò)點(diǎn)C作直線PD的垂線，垂足為F．點(diǎn)F關(guān)于直線PC的對(duì)稱點(diǎn)為F′，當(dāng)點(diǎn)F′落在坐標(biāo)軸上時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）①當(dāng)△PCE是等腰三角形時(shí)，m的值為m＝4﹣，2，；②點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，3)或(，)

【解析】

（1）先由直線y＝﹣x+2求出A，C的坐標(biāo)，再將其代入拋物線y＝ax2+x+c中，即可求出拋物線解析式；

（2）①用含m的代數(shù)表示出P，E的坐標(biāo)，再求出含m的代數(shù)式的PE的長(zhǎng)度，將等腰三角形分三種情況進(jìn)行討論，即可分別求出m的值；

②當(dāng)點(diǎn)F'落在坐標(biāo)軸上時(shí)，存在兩種情形，一種是點(diǎn)F'落在y軸上，一種是點(diǎn)F′落在x軸上，分情況即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：（1）∵直線y＝﹣x+2經(jīng)過(guò)A，C，

∴A（4，0），C（0，2），

∵拋物線y＝ax2+x+c交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，

∴，

∴a＝﹣，c＝2，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2；

（2）∵點(diǎn)P在拋物線在第一象限內(nèi)的圖象上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，

∴0＜m＜4，P（m，﹣m2+m+2），

①∵PD⊥x軸，交直線y＝﹣x+2于點(diǎn)E，

∴E（m，﹣m+2），

∴PE＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，

∵PD∥CO，

∴，

∴CE＝＝m，

當(dāng)PE＝CE時(shí)，﹣m2+2m＝m，

解得，m1＝4﹣，m2＝0（舍去）；

當(dāng)PC＝CE時(shí)，PD+ED＝2CO，

即（﹣m2+m+2）+（﹣m+2）＝2×2，

∴﹣m2+m＝0，

解得，m1＝2，m2＝0（舍去）；

當(dāng)PC＝PE時(shí)，取CE中點(diǎn)G，則G（m，﹣m+2），PG⊥AC，

∴∠GEP＝∠OCA，

∴Rt△PGE∽R(shí)t△AOC，

∴＝2，

∴（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝2（m﹣m），

﹣m2+m＝0，

解得，m1＝，m2＝0（舍去），

綜上，當(dāng)△PCE是等腰三角形時(shí)，m的值為m＝4﹣，2，；

②P（1，3），P（，），理由如下，

當(dāng)點(diǎn)F'落在坐標(biāo)軸上時(shí)，存在兩種情形：

如圖2﹣1，當(dāng)點(diǎn)F'落在y軸上時(shí)，點(diǎn)P（m，﹣m2+m+2）在直線y＝x

+2上，

∴﹣m2+m+2＝m+2，

解得，m1＝1，m2＝0（舍去），

∴P（1，3）；

如圖2﹣2，當(dāng)點(diǎn)F'落在x軸上時(shí)，△COF'∽△F'DP，

∴，

∴，

∵PF＝2﹣（﹣m2+m+2）＝m（m﹣3），

∴F'D＝＝m﹣3，

∴OF'＝OD﹣FD＝m﹣（m﹣3）＝3，

在△CBF'中，CF'＝，

∴m＝，P（，），

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)F′落在坐標(biāo)軸上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，3）或（，）．