Question

（2013•鎮(zhèn)江模擬）已知拋物線y=ax²+bx經(jīng)過點(diǎn)A（-3，-3）和點(diǎn)P（t，0），且t≠0．
（1）如圖，若A點(diǎn)恰好是拋物線的頂點(diǎn)，請寫出它的對稱軸和t的值．
（2）若t=-4，求a、b的值，并指出此時(shí)拋物線的開口方向．
（3）若拋物線y=ax²+bx的開口向下，請直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖象可直接得到對稱軸方程，利用拋物線的對稱性可得到P點(diǎn)坐標(biāo)，即得到t的值；
（2）利用待定系數(shù)法確定a、b的值，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定拋物線開口方向；
（3）由于拋物線y=ax²+bx的開口向下，且過點(diǎn)A（-3，-3），則點(diǎn)P一定在點(diǎn)（-3，0）右側(cè)，于是可得到t的范圍．

解答：解：（1）根據(jù)函數(shù)圖象得拋物線的對稱軸為直線x=-3，
則拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-6，0），（0，0），
所以t=-6；

（2）把A（-3，-3）和P（-4，0）代入y=ax²+bx得

9a-3b=-3 16a-4b=0

，
解得

a=1 b=4

，
所以拋物線的解析式為y=x²+4x，
因?yàn)閍=1＞0，
所以拋物線開口向上；

（3）t＞-3且t≠0．
將A（-3，-3）和點(diǎn)P（t，0）代入y=ax²+bx得，

9a-3b=-3① at2+bt=0②

，由①得b=3a+1
把b=3a+1代入②得at²+t（3a+1）=0，
∵t≠0，
∴at+3a+1=0，
∴a=

-1

t+3

，
∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∴

-1

t+3

＜0，
∴t+3＞0，
∴t＞-3
∴t＞-3且t≠0

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，當(dāng)a＞0，拋物線開口向上；對稱軸為直線x=-

b

2a

；拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）；當(dāng)b²-4ac＞0，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b²-4ac=0，拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b²-4ac＜0，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．