Question

如圖①，平面直角坐標(biāo)系中的?AOBC，∠AOB=60°，OA=8cm，OB=10cm，點P從A點出發(fā)沿AC方向，以1cm/s速度向C點運動；點Q從B點同時出發(fā)沿BO方向，以3cm/s的速度向原點O運動．其中一個動點到達(dá)端點時，另一個動點也隨之停止運動．
（1）求出A點和C點的坐標(biāo)；
（2）如圖②，從運動開始，經(jīng)過多少時間，四邊形AOQP是平行四邊形；
（3）在點P、Q運動的過程中，四邊形AOQP有可能成為直角梯形嗎？若能，求出運動時間；若不能，請說明理由．（圖③供解題時用）

Answer 1

分析：（1）因為AO=8為已知，∠AOB=60°，可利用三角函數(shù)中，正弦或余弦求出A點的橫坐標(biāo)以及縱坐標(biāo)，至于C，因為AC連線與X軸平行，所以和A點縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)在A的基礎(chǔ)上加10即可．
（2）四邊形AOQP如果是平行四邊形，則必須有AP=OQ，可根據(jù)P、Q運動速度，以及運動時間t，求出AP和OQ的長，從而列方程解答即可．
（3）如圖，道理同（2），只要AP=DQ即可說明是一個直角梯形，所以用含有t的式子把AP、DQ表示出來后，解方程即可．

解答：
解：（1）過點A作AD垂直O(jiān)B于點D，垂足為D
在Rt△AOD中，∵∠AOB=60°，OA=8cm
∴OD=

1

2

AO=4cm（2分）
由勾股定理，得AD=4

3

cm（3分）
∴A（4，4

3

）（4分）
∵OB=AC=10cm，
∴C（14，4

3

）．（5分）

（2）設(shè)經(jīng)過t秒鐘，四邊形AOQP是平行四邊形
則有AP=OQ（6分）
即t=10-3t，t=

5

2

（秒）
故經(jīng)過

5

2

秒鐘，四邊形AOQP是平行四邊形．（7分）

（3）四邊形AOQP能成為直角梯形．
設(shè)經(jīng)過t秒鐘，四邊形AOQP是直角梯形，
如圖③所示，四邊形ADQP是矩形則有AP=DQ（8分）
即t=10-3t-4，t=

3

2

（秒）
故四邊形AOQP是直角梯形．（9分）

點評：本題主要考查了平行四邊形、直角梯形的判定，難易程度適中．