Question

如圖，D是等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE=DA，連接DE交AC于F，過(guò)D點(diǎn)作DG⊥AC于G點(diǎn)．證明下列結(jié)論：
（1）AG=AD；
（2）DF=EF；
（3）S_△DGF=S_△ADG+S_△ECF．

Answer 1

證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=60°，
∵DG⊥AC，
∴∠AGD=90°，∠ADG=30°，
∴AG=AD；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DH∥BC交AC于點(diǎn)H，
∴∠ADH=∠B，∠AHD=∠ACB，∠FDH=∠E，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠ACB=∠A=60°，
∴∠A=∠ADH=∠AHD=60°，
∴△ADH是等邊三角形，
∴DH=AD，
∵AD=CE，
∴DH=CE，
在△DHF和△ECF中，
，
∴△DHF≌△ECF（AAS），
∴DF=EF；

（3）∵△ABC是等邊三角形，DG⊥AC，
∴AG=GH，
∴S_△ADG=S_△HDG，
∵△DHF≌△ECF，
∴S_△DHF=S_△ECF，
∴S_△DGF=S_△DGH+S_△DHF=S_△ADG+S_△ECF．
分析：（1）由等邊△ABC，DG⊥AC，可求得∠AGD=90°，∠ADG=30°，然后根據(jù)直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，即可證得AG=AD；
（2）首先過(guò)點(diǎn)D作DH∥BC交AC于點(diǎn)H，易證得△ADH是等邊三角形，又由CE=DA，可利用AAS證得△DHF≌△ECF，繼而可得DF=EF；
（3）由△ABC是等邊三角形，DG⊥AC，可得AG=GH，即可得S_△ADG=S_△HDG，又由△DHF≌△ECF，即可證得S_△DGF=S_△ADG+S_△ECF．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及含30°直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．