Question

如圖，已知直角坐標系中一條圓弧經(jīng)過正方形網(wǎng)格的格點A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）
（1）用直尺畫出該圓弧所在圓的圓心M的位置，并標出M點的坐標；
（2）若D點的坐標為（7，0），驗證點D是否在經(jīng)過點A、B、C的拋物線上；
（3）若D點的坐標為（7，0），想一想直線CD與⊙M有怎樣的位置關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）題利用“兩弦垂直平分線的交點為圓心”可確定圓心位置；
（2）先根據(jù)A、B、C三點坐標，用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，然后將D點坐標代入拋物線的解析式中，即可判斷出點D是否在拋物線的圖象上；
（3）由于C在⊙M上，如果CD與⊙M相切，那么C點必為切點；因此可連接MC，證MC是否與CD垂直即可．可根據(jù)C、M、D三點坐標，分別表示出△CMD三邊的長，然后用勾股定理來判斷∠MCD是否為直角．

解答： 解：（1）如圖1，點M就是要找的圓心．
正確即可（2分）

（2）由A（0，4），可得小正方形的邊長為1．設(shè)經(jīng)過點A、B、C的拋物線的解析式為y=ax²+bx+4，依題意有

4=16a+4b+4 2=36a+6b+4

，
解得，

a=- 1 6 b= 2 3

；
所以經(jīng)過點A、B、C的拋物線的解析式為y=-

1

6

x²+

2

3

x+4，
把點D（7，0）的橫坐標x=7代入上述解析式，得 y=-

1

6

×49+

2

3

×7+4=

1

2

≠0，
所以點D不在經(jīng)過A、B、C的拋物線上；

（3）證明：由A（0，4），可得小正方形的邊長為1．（1分）
如圖2，設(shè)過C點與x軸垂直的直線與x軸的交點為E，連接MC，作直線CD，
∴CE=2，ME=4，ED=1，MD=5，（1分）
在Rt△CEM中，∠CEM=90°，
∴MC²=ME²+CE²=4²+2²=20，
在Rt△CED中，∠CED=90°，
∴CD²=ED²+CE²=1²+2²=5，
∴MD²=MC²+CD²，（1分）
∴∠MCD=90°，（1分）
又∵MC為半徑，
∴直線CD是⊙M的切線．（1分）

點評：本題為綜合題，涉及圓、平面直角坐標系、二次函數(shù)等知識，需靈活運用相關(guān)知識解決問題．本題考查二次函數(shù)、圓的切線的判定等初中數(shù)學的中的重點知識，試題本身就比較富有創(chuàng)新，在網(wǎng)格和坐標系中巧妙地將二次函數(shù)與圓的幾何證明有機結(jié)合，很不錯的一道題，令人耳目一新．